关于证明映射φ(x)=min{||x-u||²; u∈U}为二次型的问题求助

各位好，我现在卡在一个线性代数的问题上了，想请教大家的帮助：

设$V$是有限维欧几里得向量空间，$U \subset V$是$\mathbb{R}$-子空间。定义映射$\varphi: V \rightarrow \mathbb{R}$为：
$$\varphi(x)= \min{|x-u|^2 ; u \in U }$$
我需要证明$\varphi$是$V$上的二次型，也就是要验证以下两个核心性质：

1. $\varphi(a x)=a^{2} \varphi(x) \quad \forall a \in \mathbb{R}, \forall x \in V $
2. $\varphi(x+y)+\varphi(x-y)=2 \varphi(x)+2 \varphi(y) \quad \forall x, y \in V$

我自己尝试推导第一个性质时，展开后得到了：
$$\min{|ax-u|^2 : u \in U} = \min{-2a \langle x, u \rangle + a^2 \langle x,x \rangle + \langle u,u \rangle }$$
但到这一步就不知道怎么继续推导，最终得到等于$a^2\varphi(x)$的结论了。

对于第二个性质，我经过几次计算后，最后得到的式子是：
$$\min{2(\langle x, y\rangle- \langle x, u\rangle - \langle y, u\rangle)} + \min {2(- \langle x, y\rangle - \langle x, u\rangle + \langle y, u \rangle)} = 2 \min{-2 \langle x, u\rangle) + 2 \min{-2 \langle y, u \rangle}$$
感觉这个推导方向可能有误，试了好几次都没走通。

现在实在没什么思路了，有没有大佬能给点提示？或者能不能告诉我这个问题的相关名称，这样我可以自己去查资料深入学习，非常感谢大家！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Marius Lutter