依测度收敛与几乎处处收敛的区别及个人理解正确性验证

你的理解大部分是准确的，但有一个关键细节需要修正，咱们来仔细梳理下：

先回顾两个收敛的定义 #

• 依测度收敛：序列$f_n$依测度收敛到$f$，当且仅当对任意给定的$\epsilon > 0$，随着$n$趋向无穷大，满足$|f_n(x)-f(x)|>\epsilon$的点集的测度会趋近于0，也就是：
  $$\mu\left({x: |f_n(x)-f(x)|>\epsilon}\right) \rightarrow 0 \quad (n \rightarrow \infty)$$
• 几乎处处收敛：序列$f_n$几乎处处收敛到$f$，当且仅当存在一个测度为0的集合$E$，只要$x$不在$E$里，$f_n(x)$就会逐点收敛到$f(x)$。换句话说，不收敛的点集整体测度为0。

你的理解对与错的地方 #

1. 依测度收敛的理解完全正确：你抓住了核心——对每个固定的$\epsilon$，我们看每个$n$对应的“差距超过$\epsilon$”的点集$A_n$，只要这个序列$A_n$的测度趋向0就行。

2. 几乎处处收敛的理解有个小错误：你说“要证明集合${x:|f_n(x)-f(x)|>\frac{1}{n}}$的测度为0”，这不对哦。这个集合是依赖$n$的，每个$n$对应不同的集合，而几乎处处收敛真正要关注的是那些永远不收敛的点的集合，也就是：
   $${x: f_n(x) \nrightarrow f(x)}$$
   这个集合是不依赖$n$的，我们需要证明它的测度为0。

   补充个小知识点：这个不收敛的点集其实可以用可数条件刻画——它等于$\bigcup_{k=1}^{\infty} \bigcap_{N=1}^{\infty} \bigcup_{n=N}^{\infty} {x: |f_n(x)-f(x)| > \frac{1}{k}}$。简单来说，就是存在某个固定的小正数（比如$1/k$），不管你取多大的$N$，总能找到比$N$更大的$n$，使得$|f_n(x)-f(x)|$超过这个小正数。只要这个整体集合的测度为0，就满足几乎处处收敛。

核心区别再强调下 #

• 依测度收敛是“对每个固定的$\epsilon$，大$n$时差距超过$\epsilon$的点很少（测度趋近0）”，但这些“很少的点”可能每次都不一样；
• 几乎处处收敛是“除了一个零测集外，所有点都实实在在地逐点收敛”，也就是大部分点上，$f_n(x)$最终会稳定到$f(x)$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Peter