1<p<2时傅里叶变换ℱ:L^p(ℝ)→L^q(ℝ)的满射性判定及相关证明疑问

最近我在研究傅里叶变换在L^p空间上的映射性质，碰到了一个困惑的问题：当$1 < p < 2$时，傅里叶变换$\mathcal F: L^p(\Bbb R) \to L^q(\Bbb R)$（这里$q$是$p$的共轭指数，即$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$）是不是满射？

我直觉上觉得它不是满射，本来想从$L^1(\Bbb R)$上傅里叶变换的性质来推导思路——毕竟$L^1(\Bbb R)$上的傅里叶变换是映射到$C_0(\Bbb R)$（趋于0的连续函数空间），而且这个映射本身就不是满射，但我找了一圈资料也没找到具体的解释，不知道能不能借助$L^1$上的非满射性来推导这个结论？

另外我还想到了开映射定理的思路：如果这个傅里叶变换是满射的话，根据开映射定理它应该是开映射，但我想不通怎么证明这一点不成立，从而反推它不是满射。

后来在@Severin的提示下，我看到了一个相关的解答，但里面有个步骤没搞懂：他们是怎么证明$||\hat f_\lambda||_{q} \leq c \lambda^{1/q-1/2}$的？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者stoic-santiago