关于积分数值梯形逼近方案及该方案精确成立的函数的技术咨询

问题背景 #

给定定义在[0,1]上的连续函数 $f \in C[0,1]$，当 $n>1$ 时，我们用梯形型数值积分公式来逼近定积分：
$$T(f)=\frac{1}{n}\left[\frac{1}{2}f(0)+\frac{1}{2}f(1)+\sum_{j=1}^{n-1}f\left(\frac{j}{n}\right)\right]$$
目标是找到哪个给定函数能让这个逼近精确等于定积分 $I(f)=\int_{0}^{1}f(x)dx$，可选函数如下：

• $1+\sin 2\pi nx$
• $1+\cos 2\pi nx$
• $\sin^2 2\pi nx$
• $\cos^2 2\pi (n+1)x$

你的尝试与需求 #

你已经通过代入 $n=2$ 排除了后三个选项，得到正确答案是第一个，但你不想用排除法，想搞明白第一个函数到底有什么特殊性质，能让梯形逼近对所有 $n>1$ 都精确成立，还希望能找到这类函数的通用判断条件。

直接推导与分析 #

我们逐个计算每个函数的 $T(f)$ 和 $I(f)$，对比两者是否对所有 $n>1$ 都相等：

1. 函数 $f(x)=1+\sin 2\pi nx$ #

先算积分 $I(f)$：
$$I(f)=\int_{0}^{1}(1+\sin 2\pi nx)dx = \int_{0}^{1}1dx + \int_{0}^{1}\sin 2\pi nx dx$$
显然 $\int_{0}^{1}1dx=1$，而正弦函数的积分：
$$\int_{0}^{1}\sin 2\pi nx dx = -\frac{1}{2\pi n}\cos 2\pi nx\bigg|_{0}^{1} = -\frac{1}{2\pi n}(\cos 2\pi n - \cos 0)$$
因为 $\cos 2\pi n=1$（n是整数），所以这部分积分等于0，最终 $I(f)=1$。

再算梯形逼近 $T(f)$：
$$T(f)=\frac{1}{n}\left[\frac{1}{2}(1+\sin0)+\frac{1}{2}(1+\sin2\pi n)+\sum_{j=1}^{n-1}(1+\sin\frac{2\pi n j}{n})\right]$$
化简每一项：

• $\sin0=0$，$\sin2\pi n=0$（整数倍的2π正弦值都是0）
• $\sin\frac{2\pi n j}{n}=\sin2\pi j=0$（j是1到n-1的整数，同样是2π的整数倍）

代入后：
$$T(f)=\frac{1}{n}\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+(n-1)\times1\right] = \frac{1}{n}\times n=1$$
所以 $T(f)=I(f)=1$，对所有 $n>1$ 都成立。

2. 函数 $f(x)=1+\cos 2\pi nx$ #

积分 $I(f)$：
$$I(f)=\int_{0}^{1}(1+\cos 2\pi nx)dx=1 + \frac{1}{2\pi n}\sin2\pi nx\bigg|_{0}^{1}=1+0=1$$

梯形逼近 $T(f)$：
$$T(f)=\frac{1}{n}\left[\frac{1}{2}(1+\cos0)+\frac{1}{2}(1+\cos2\pi n)+\sum_{j=1}^{n-1}(1+\cos2\pi j)\right]$$
余弦函数在整数倍2π处的值都是1，所以：
$$T(f)=\frac{1}{n}\left[\frac{1}{2}\times2+\frac{1}{2}\times2+(n-1)\times2\right] = \frac{1}{n}\times2n=2$$
显然 $2≠1$，不满足条件。

3. 函数 $f(x)=\sin^2 2\pi nx$ #

先用三角恒等式化简：$\sin^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}{2}$，所以 $f(x)=\frac{1-\cos4\pi nx}{2}$。

积分 $I(f)$：
$$I(f)=\int_{0}^{1}\frac{1-\cos4\pi nx}{2}dx=\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{4\pi n}\sin4\pi nx\bigg|_{0}^{1}\right)=\frac{1}{2}(1-0)=\frac{1}{2}$$

梯形逼近 $T(f)$：
$$T(f)=\frac{1}{n}\left[\frac{1}{2}\sin^{20+\frac{1}{2}\sin}22\pi n+\sum_{j=1}^{n-1}\sin22\pi j\right]$$
所有分点处的正弦值都是0，平方后还是0，所以：
$$T(f)=\frac{1}{n}(0+0+0)=0$$
$0≠\frac{1}{2}$，不满足条件。

4. 函数 $f(x)=\cos^2 2\pi (n+1)x$ #

用三角恒等式化简：$\cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}{2}$，所以 $f(x)=\frac{1+\cos4\pi(n+1)x}{2}$。

积分 $I(f)$：
$$I(f)=\int_{0}^{1}\frac{1+\cos4\pi(n+1)x}{2}dx=\frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{4\pi(n+1)}\sin4\pi(n+1)x\bigg|_{0}^{1}\right)=\frac{1}{2}(1+0)=\frac{1}{2}$$

梯形逼近 $T(f)$：
当 $n=2$ 时，代入得：
$$T(f)=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\cos^{20+\frac{1}{2}\cos}26\pi+\cos^23\pi\right] = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+1\right]=1$$
$1≠\frac{1}{2}$，说明这个函数只对部分n成立，不是所有n>1都满足，因此也不符合要求。

通用判断条件总结 #

要让 $T(f)=I(f)$ 对所有 $n>1$ 成立，我们可以把函数拆成常数项+波动项 $f(x)=C+g(x)$：

• 常数项C的梯形逼近和积分肯定相等，因为 $T(C)=C$，$I(C)=C$；
• 关键看波动项 $g(x)$，需要同时满足两个条件：
  1. $g(x)$ 在[0,1]上的积分值为0，即 $\int_{0}^{1}g(x)dx=0$；
  2. 对任意n>1，$g(x)$ 在所有分点 $\frac{j}{n}$（j=0,1,...,n）处的函数值之和为0，也就是 $\frac{1}{2}g(0)+\frac{1}{2}g(1)+\sum_{j=1}^{n-1}g(\frac{j}{n})=0$。

第一个函数的波动项 $\sin2\pi nx$ 完美符合这两个条件：

• 积分值为0；
• 所有分点处的函数值都是0，自然和为0。

而其他选项要么波动项的分点值和不为0（比如选项2），要么积分值不为0（选项3），要么仅对部分n满足条件（选项4），所以都达不到“对所有n>1成立”的要求。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MathRookie2204