关于康托函数变差性质的证明问询：区间不等式验证及相关结论的严谨证明

我正在研究康托函数 $f:[0,1]\to [0,1]$，针对康托集内的任意元素 $x\in C$，想要证明：对于所有使得公式有意义（即 $x+3r$ 和 $x-3r$ 都落在区间 $[0,1]$ 内）的 $r>0$，都满足

$$f(x+3r)-f(x-3r)\leq 4 (f(x+r)-f(x-r))$$

我提出了一个猜想（不知道这个猜想是否可验证？）：

$$\forall n\geq 3\ , \forall \frac{1}{3^n}< r< \frac{1}{3^{n-1}} :\ f(x+r)-f(x-r)\in [\frac{1}{2^n}, \frac{1}{2^{n-1}}]$$

换个通俗点的说法就是：如果从 $x$ 出发移动一个量级为 $\frac{1}{3^n}$ 的距离，那么 $f(x)$ 的变化量必然是 $\frac{1}{2^n}$ 这个量级的。

要是这个猜想成立，那上面的不等式就直接得证了，但我拿不准这个猜想到底对不对？有没有什么依据可以否定它呢？

我目前还没想出怎么给出严谨的证明。大概的思路是用 $r$ 的三进制表示，把它加到 $x$ 的三进制表示里一步步推导，但我想要一个正式的、严谨的证明过程。

基于数位表示的尝试思路 #

我尝试用数位表示的方法来推导，具体的思路如下：

设 $r=\sum_{k=1}^\infty \frac{b_k}{3^k}$，其中 $b_k\in {0,1, 2}$，满足 $b_1=b_2=\dots=b_{n-1}= 0$ 且 $b_n\geq 1$；如果 $b_n=1$，那么存在某个 $k\geq n+1$ 使得 $b_{k}\neq 0$。

对于康托集里的 $x$，有 $x=\sum_{k=1}^\infty \frac{x_k}{3^k}$，其中 $x_k\in {0, 2}$，而康托函数的定义是 $f(x)= \sum_{k=1}^\infty \frac{x'_k}{2^k}$，这里的 $x'_k$ 是把 $x_k$ 中的数字2替换成1得到的。

接下来的计划是把 $x+r, x-r, x+3r, x-3r$ 都写成三进制形式，然后找出每个数在康托集中的最大下界，再将这个下界对应的康托函数值 $f(y)$ 和 $f(x)$ 进行比较，以此证明 $f(x+r)-f(x-r) \geq \frac{1}{2^{n}}$，另一侧的不等式也可以用类似的方法推导。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者NotaChoice