关于抛物线与水平线围成区域恰好包含n个格点的存在性求证

我们先明确核心问题：已知对任意正整数$n\in\mathbb{Z^+}$，总能找到一个圆恰好包围$n$个格点（即坐标为整数的点）。那如果换成抛物线加顶部的水平“帽”呢？

具体来说，问题是：对每个$n\in\mathbb{Z^{+}$，是否存在实数$a,b,c$，使得抛物线$y=(x-a)}2+b$与水平线$y=c$围成的区域（包括边界上的点）恰好包含$n$个格点？

先看几个小数值的例子：

• 当$n=7$时，取抛物线y=(x-0)^2-0.5和水平线y=2.5，这个区域恰好包含7个格点；
• 当$n=8$时，调整参数为抛物线y=(x-0.5)^2-0.8和水平线y=2.5，就能恰好包含8个格点。

不过当$n$增大到一定程度后，要精准微调参数让格点数量刚好比前一个数多1个，难度会越来越大——目前我还不确定这种精细调整是否总能实现。

这个猜想的由来是：我最近尝试用基础工具绘制抛物线时，突然想到了这个问题。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Dan