无需通过比值测试计算极限，证明级数∑ₖ=1^∞ (1+3ᵏ)/(1+2ᵏ)发散的高效方法咨询
嘿，很高兴你在琢磨更简洁的级数敛散性证明方法——这绝对是个值得养成的好习惯，毕竟没必要的复杂计算真的很耗精力！
首先先回应你自己想到的那个思路：你的方向是对的，但其实可以更精准一点。你说的不等式 $\sum_{k=1}^\infty \frac{1+3k}{1+2k} > \sum_{k=1}^\infty \frac{1+3k}{1+3k}$ 是成立的（因为分母 $1+2^k < 1+3^k$，分数值自然更大），而右边的级数就是 $\sum_{k=1}^\infty 1$，这是个明显发散的级数，所以根据比较判别法，原级数确实发散。不过这个思路还可以再简化，甚至不用找这个对比级数——
给你几个更高效的方法：
通项极限判别法（最快最直接）：判断级数敛散性的第一步永远应该是先看通项的极限！如果 $\lim_{k \to \infty} a_k \neq 0$（包括极限为无穷的情况），那级数必然发散。对于你的通项 $a_k = \frac{1+3k}{1+2k}$，我们可以把分子分母同时除以 $2^k$，得到：
$$a_k = \frac{(1/2)^k + (3/2)k}{(1/2)k + 1}$$
当 $k \to \infty$ 时，$(1/2)^k$ 会趋近于0，而 $(3/2)^k$ 是公比大于1的等比项，会趋近于正无穷，分母趋近于1，所以 $\lim_{k \to \infty} a_k = +\infty \neq 0$，直接就能得出原级数发散，连对比都不用做！更简洁的比较判别法：如果想用比较法，也可以找个更直观的发散级数来对比。比如对任意 $k \geq 1$，有 $1+3^k > 3^k$，且 $1+2^k < 2 \cdot 2^k$（因为 $1 < 2^k$ 对所有正整数k都成立），所以：
$$\frac{1+3k}{1+2k} > \frac{3^k}{2 \cdot 2^k} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^k$$
而 $\sum_{k=1}^\infty \left(\frac{3}{2}\right)^k$ 是公比为 $3/2 > 1$ 的等比级数，显然发散，那么原级数作为一个比发散级数的正倍数还要大的级数，自然也发散。
至于你之前用的比值测试，虽然结果是对的，但确实属于“大材小用”了——毕竟通项极限都不为0，根本没必要走到比值测试那一步。以后判断级数敛散性的时候，记得先检查通项极限，这能帮你省去超多不必要的复杂计算！
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Bill Cogn
