关于一致有界性定理反例的疑问：该反例违反了定理的哪项假设？

我来帮你理清楚这个反例和一致有界性定理的关系哈～

首先先明确**一致有界性定理（共鸣定理）**的核心条件与结论：

假设：

1. $X$是巴拿赫空间（这里$X=\ell^2$确实是完备的巴拿赫空间，满足条件）；
2. ${T_n}$是从$X$到赋范空间$Y$（这里$Y=\mathbb{R}$，是赋范空间）的有界线性算子族（每个$T_n$都是有界的，因为$|T_n|=\log n<\infty$对单个$n$成立，满足条件）；
3. 关键假设：对每一个$x\in X$，序列${|T_n x|}$（这里就是${|T_n x|}$，因为$Y=\mathbb{R}$）都是有界的。

结论：${|T_n|}$是有界的。

你的反例里${|T_n|}=\log n$是无界的，那必然是某个假设不成立——前两个条件都满足，问题就出在第三个关键假设不成立：存在某个$x\in\ell^2$，使得${|T_n x|}$是无界的。

接下来解释讲师提到的那个构造例子：
我们需要造一个属于$\ell^2$的$x$，让它在某些特定的$n$处，$T_n x$的绝对值能无限增大，同时保证$x$的$\ell^{2$范数收敛（也就是$\sum_{i=1}}\infty a_i^2<\infty$）。具体可以这么做：

• 选一个增长足够快的正整数序列${n_k}$，比如让$n_k=2^{2k}$，此时$\log n_k=2^k \log2$，会随着$k$趋向无穷；
• 定义$x$的第$n_k$个分量为$\frac{1}{\sqrt{\log n_k}}$，其余分量全为0。

先验证$x\in\ell^2$：
$x$的$\ell^{2$范数平方是$\sum_{k=1}}\infty \left(\frac{1}{\sqrt{\log n_k}}\right)^2 = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\log n_k} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k \log2}$，这是公比为$\frac{1}{2}$的等比级数，显然收敛，所以$x$确实属于$\ell^2$。

再看$T_n x$的表现：
当$n=n_k$时，$T_n x=(\log n_k)\cdot\frac{1}{\sqrt{\log n_k}}=\sqrt{\log n_k}=\sqrt{2^k \log2}$，这个值会随着$k$的增大趋向无穷大，也就是说序列${|T_n x|}$是无界的——这就直接违反了一致有界性定理里“对所有$x\in X$，${|T_n x|}$有界”的假设。

讲师说的“两个非零项之间的间隔更大”，其实就是让我们选的${n_k}$增长得足够快，这样$x$的非零分量不会过于密集，才能保证$x$的$\ell^2$范数收敛，同时又能让$T_n x$在某些$n$处无限放大。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者HONGYI ZHOU