关于非线性变分形式特征函数及对应正交基内积值的数值计算问询

各位好，我最近碰到一个数值计算相关的问题，想和大家聊聊：

设定区域 $D:=(0,1)^2$，考虑如下非负形式：
$$a(u,v):=\langle f(\nabla u)\nabla u,\nabla v\rangle_{L^2(D;:\mathbb R^2)}$$
其中 $u,v\in L^2(D)$，$f:\mathbb R^2\to(0,\infty)$ 是一个光滑函数。

我现在的疑问是：我们能不能数值计算 $a(e_j,e_i)$ 的值？这里 $(e_i)$ 是 $L^2(D)$ 的一组正交基，并且满足
$$a(e_j,e_i)=\lambda_i\delta_{ij}\tag1$$
$\lambda_i$ 是一系列常数。

顺带提一句，当 $f=1$ 的时候这事儿就特别简单了——我们都知道可以用余弦乘积构成的集合作为正交基 $(e_i)$，直接就能算出结果。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者0xbadf00d