寻求Moser不等式的证明提示、部分证明或完整证明

大家好，我最近在钻研一个由阿尔伯塔大学的L. Moser和J.R. Pounder于1962年在《Canadian Math Bulletin》第5卷第70页提出的问题，这个问题可以等价转化为如下的不等式证明：

给定实系数二次三项式 $ax^2+bx+c$，且该多项式有实根，证明以下不等式成立：
$$a+b+c \leq \frac{9}{4} \max (a,b,c).$$

我自己尝试推导过这个证明，但完全没有头绪，之后我在包括MathStackExchange在内的多个平台上搜索，甚至回溯到问题的原始出处，都没能找到令我满意的解答。

所以在这里想向大家求助，无论是证明的提示（我更倾向于先看提示自己尝试）、部分证明思路，还是完整的证明过程都可以，提前感谢大家的帮助！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Vaskara_GRek_O