关于秩2 Drinfeld模对应函数域上椭圆曲线[N]自同态的A中对应元素的疑问

嗨，我来帮你理清这个困惑点～你现在是通过Drinfeld模来研究函数域上的椭圆曲线，先把核心背景再明确下：我们取$A=\mathbb{F}_p[T]$上的秩2 Drinfeld $A$-模$\rho$，对应函数域$K=\mathbb{F}_p(T)$上的椭圆曲线$E$，你想找到对应椭圆曲线乘$N$自同态$[N]:E\to E$的$a_N\in A$（且$N$不被$p$整除）。

首先你提到的“$x\mapsto\rho_a(x)$是$P\mapsto[n]P$的类比”，这句话的核心是系数环层面的类比，而非整数元素和$A$中元素的直接对应——这正是你困惑的根源：你直觉上想把$\mathbb{Z}$里的$N$直接对应成$\mathbb{F}_p$中的元素放进$A$，但比如$p+1$和$2p+1$在$\mathbb{F}_p$里都是1，可对应的torsion结构完全不同，这说明这种直接对应是不成立的。

我来拆解下关键逻辑：

• 椭圆曲线的核心结构是**$\mathbb{Z}$-模**：每个整数$n$对应自同态$[n]$，$N$-torsion $E[N]$是$\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$（当$p\nmid N$时）。
• Drinfeld模的核心结构是**$A$-模**：每个$a\in A$对应作用$\rho_a$，$a$-torsion $\rho[a]$是$A/(a)\times A/(a)$（因为秩2）。

这两个模结构的系数环完全不同：$\mathbb{Z}$是特征0的整环，而$A=\mathbb{F}_p[T]$是特征$p$的多项式环。你问的“对应$[N]$的$a_N\in A$”其实是个伪问题——因为椭圆曲线的$[N]$自同态（$p\nmid N$）对应的是$\mathbb{Z}$-模结构下的作用，而Drinfeld模的$\rho_a$是$A$-模结构下的作用，这两种作用的torsion类型完全不同：

• 椭圆曲线的$N$-torsion是$\mathbb{Z}$-torsion（阶为$N^2$，且与$p$互素）；
• Drinfeld模的$a$-torsion是$A$-torsion，作为$\mathbb{Z}$-模看，它的阶是$p^{{2\deg(a)}$（如果$a$是$\deg(a)$次多项式），或者是$p}{2k}$（如果$a$是$\mathbb{F}_p$中$k$阶元素），本质上都是$p$的幂次阶群，和$N$-torsion（阶与$p$互素）完全不匹配。

那为什么会有“$\rho_a$是$[n]$的类比”这句话？它的意思是：在各自的模体系里，$\rho_a$是Drinfeld模的“系数环元素作用”，就像$[n]$是椭圆曲线的“系数环元素作用”——是结构角色的类比，而非元素之间的一一对应。

再回到你提到的“自然忠实$\mathbb{Z}$-模结构”：$A$作为$\mathbb{Z}$-模并不忠实（因为$p\cdot a=0$对所有$a\in A$），但椭圆曲线的$\mathbb{Z}$-模结构是忠实的（$[n]=0$当且仅当$n=0$）。这两者的$\mathbb{Z}$-模结构本身就存在本质差异，所以不存在一个自然的$\mathbb{Z}\to A$的嵌入，能让$N$对应到某个$a_N\in A$，使得$\rho_{a_N}$对应$[N]$。

总结一下：不存在这样的$a_N\in A$对应椭圆曲线的$[N]$自同态（当$p\nmid N$时），因为两者的作用分属不同的模结构，torsion类型完全不匹配。你需要从“系数环类比”的角度理解这句话，而非元素的直接对应。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者jawlang