拉格朗日插值中$a_{3}=f[x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}]$的证明方法问询

嘿，我明白你现在卡在直接代入差分表达式化简的环节了，其实不用硬拆复杂的分式，换个思路会更顺畅！这里给你两个实用的方向来证明$a_3 = f[x_0, x_1, x_2, x_3]$：

方法一：利用插值多项式的唯一性 #

• 首先回忆：你给出的这个多项式形式正是牛顿插值多项式，它的系数$a_k$本身就定义为$k$阶差商$f[x_0, x_1, \dots, x_k]$；
• 而拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式都是满足$P_n(x_i) = f(x_i)$（$i=0,1,\dots,n$）的$n$次多项式，根据多项式插值的唯一性，这两个多项式是完全等价的——只是写法不同；
• 既然是同一个多项式，对应的系数自然相等，所以$a_3$就是三阶差商$f[x_0, x_1, x_2, x_3]$。这个方法不用做繁琐的代数化简，一步到位。

方法二：代入特定点直接求解系数（适合代数推导） #

如果你想要通过代数运算验证，我们可以通过给$x$代入插值节点来逐个解出系数：

1. 代入$x=x_0$：$P_n(x_0)=a_0=f(x_0)$，得到$a_0=f(x_0)$（零阶差商）；
2. 代入$x=x_1$：$P_n(x_1)=a_0 + a_1(x_1-x_0)=f(x_1)$，解得$a_1=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}=f[x_0,x_1]$（一阶差商）；
3. 代入$x=x_2$：$P_n(x_2)=a_0 + a_1(x_2-x_0)+a_2(x_2-x_0)(x_2-x_1)=f(x_2)$，把$a_0,a_1$代入后解得：
   $$a_2=\frac{f(x_2)-f(x_0)-fx_0,x_1}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}=f[x_0,x_1,x_2]$$
   这正好是二阶差商的定义；
4. 最后代入$x=x_3$：
   $$P_n(x_3)=a_0 + a_1(x_3-x_0)+a_2(x_3-x_0)(x_3-x_1)+a_3(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)=f(x_3)$$
   移项解出$a_3$：
   $$a_3 = \frac{f(x_3) - a_0 - a_1(x_3-x_0) - a_2(x_3-x_0)(x_3-x_1)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}$$
   把$a_0,a_1,a_2$替换成对应的差商，再结合三阶差商的递推定义$f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_1,x_2,x_3]-f[x_0,x_1,x_2]}{x_3-x_0}$，通分化简后就能完全匹配，证明$a_3=f[x_0,x_1,x_2,x_3]$。

另外提一句：你给出的三阶差商表达式里分子的$x$应该是$x_3$的笔误，不然变量不一致，修正后再代入化简会更顺利～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Wrlord