关于证明V与ℒ(ℱ,V)同构的正确性验证及修正咨询（含无限维情况）

我尝试解决下面这个习题，想请大家帮忙看看我的证明有没有问题，尤其是涉及无限维空间的部分：

证明$V$和$\mathcal{L}(\mathbb{F},V)$是同构的向量空间。

如果$V$是有限维的，我对自己的证明（稍作修改）很有信心，但题目里$V$可以是无限维的。我知道有限维的一些结论在无限维里不一定成立，所以对这个证明没十足把握。能不能帮我找找错误？如果有的话，麻烦告诉我怎么修正？

证明：假设${\alpha}$是$\mathbb{F}$的基，${v_\lambda|\lambda\in \Lambda}$是$V$的基，其中$\Lambda$是一个可能不可数的指标集。定义线性映射$T_\lambda:\mathbb{F}\to V$满足$T_\lambda(\alpha)=v_\lambda$（$\lambda\in \Lambda$）。我们将证明${T_\lambda|\lambda\in \Lambda}$是$\mathcal{L}(\mathbb{F},V)$的基。

设$\sum_{\lambda\in\Lambda}\alpha_\lambda T_\lambda$表示$T_\lambda$的有限线性组合。

• 线性无关性：若$\alpha_\lambda\in\mathbb{F}$满足$\sum_{\lambda\in\Lambda}\alpha_\lambda T_\lambda=0$，则：
  $$\sum_{\lambda\in\Lambda}\alpha_\lambda T_\lambda(\alpha)=0\Rightarrow\sum_{\lambda\in\Lambda}\alpha_\lambda v_\lambda=0\Rightarrow \alpha_\lambda=0.$$

• 线性张成性：任取$\alpha\in\mathbb{F}$和$T\in\mathcal{L}(\mathbb{F},V)$。由于$T(\alpha)\in V$，可得：
  $$T(\alpha)=\sum_{\lambda\in\Lambda}\alpha_\lambda v_\lambda=\sum_{\lambda\in\Lambda}\alpha_\lambda T_\lambda(\alpha)=\left(\sum_{\lambda\in\Lambda}\alpha_\lambda T_\lambda\right)(\alpha)\Rightarrow T=\sum_{\lambda\in\Lambda}\alpha_\lambda T_\lambda.$$

定义映射$\varphi:\mathcal{L}(\mathbb{F},V)\to V$如下：
$$\varphi\left(\sum_{\lambda\in\Lambda}\alpha_\lambda T_\lambda\right)=\sum_{\lambda\in\Lambda}\alpha_\lambda v_\lambda.$$

我们将证明$\varphi$是一个同构：

• 线性性：任取$\alpha\in\mathbb{F}$和$S,R\in\mathcal{L}(\mathbb{F},V)$，则：
  \begin{align}
  \varphi(\alpha S+R)&=\varphi\left(\alpha\sum_{\lambda\in\Lambda}\beta_\lambda T_\lambda+\sum_{\lambda\in\Lambda}\gamma_\lambda T_\lambda\right)=\varphi\left(\sum_{\lambda\in\Lambda}\left(\alpha\beta_\lambda+\gamma_\lambda\right) T_\lambda\right)\
  &=\sum_{\lambda\in\Lambda}\left(\alpha\beta_\lambda+\gamma_\lambda\right)v_\lambda=\alpha\sum_{\lambda\in\Lambda}\beta_\lambda v_\lambda+\sum_{\lambda\in\Lambda}\gamma_\lambda v_\lambda=\alpha\varphi(S)+\varphi(R).
  \end{align}

• 单射性：设$S,R\in\mathcal{L}(\mathbb{F},V)$，则：
  $$\varphi(S)=\varphi(R)\Rightarrow\varphi\left(\sum_{\lambda\in\Lambda}\beta_\lambda T_\lambda\right)=\varphi\left(\sum_{\lambda\in\Lambda}\gamma_\lambda T_\lambda\right)\Rightarrow\sum_{\lambda\in\Lambda}\beta_\lambda v_\lambda=\sum_{\lambda\in\Lambda}\gamma_\lambda v_\lambda\Rightarrow\beta_\lambda=\gamma_\lambda.$$
  因此$S=R$。

• 满射性：任取$v\in V$，设$v=\sum_{\lambda\in\Lambda}\alpha_\lambda v_\lambda$。取$T=\sum_{\lambda\in\Lambda}\alpha_\lambda T_\lambda$，则$T\in\mathcal{L}(\mathbb{F},V)$，且：
  $$\varphi(T)=\varphi\left(\sum_{\lambda\in\Lambda}\alpha_\lambda T_\lambda\right)=\sum_{\lambda\in\Lambda}\alpha_\lambda v_\lambda=v.$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者QuantumSuperfield