关于R-模同构Hom_R(R/(x),R)≅R/(x)的证明问询（R=k[x,y]/(xy)）

嘿，我来帮你把这个模同构的问题理清楚！你提到的$\mathrm{Hom}_R(R,M)\cong M$这个一般结论没错，但咱们现在要处理的是$\mathrm{Hom}_R(R/(x), R)$，虽然和前者形式类似，但需要结合$R$的具体结构来验证，不过确实能证明它和$M=R/(x)$是同构的，咱们一步步拆解：

首先明确各个对象的结构：

• $R = k[x,y]/(xy)$，也就是说$R$里的元素是多项式模掉$xy=0$这个关系，任何元素都可以写成只含$x$的项加只含$y$的项（交叉项$xy$直接为0）。
• $M = R/(x)$，它作为$R$-模，元素是$R$中模掉$x$后的等价类，简单说就是所有只含$y$的多项式（因为$x$的项都被消掉了）。

接下来分析$\mathrm{Hom}_R(R/(x), R)$里的同态：
$R/(x)$是循环$R$-模，生成元是$\overline{1}$（也就是$1+(x)$），所以任何$R$-模同态$\phi: R/(x) \to R$完全由$\phi(\overline{1})$的值决定。设$\phi(\overline{1})=a\in R$，那这个同态必须满足：

因为$\overline{x}=0$在$R/(x)$里，所以$\phi(x\cdot\overline{1})=x\cdot\phi(\overline{1})$，左边是$\phi(0)=0$，右边是$x\cdot a$，因此必须有$x\cdot a=0$在$R$中成立。

这意味着，$\mathrm{Hom}_R(R/(x), R)$里的每个同态，都对应着$R$中满足$x\cdot a=0$的元素$a$。

现在我们构造两个互逆的映射来证明同构：

1. 定义映射$\Psi: \mathrm{Hom}_R(R/(x), R) \to M$
   对任意$\phi\in\mathrm{Hom}_R(R/(x), R)$，取$\phi(\overline{1})=a$（满足$x\cdot a=0$），令$\Psi(\phi)=\overline{a}\in M$（也就是$a+(x)$）。

2. 定义映射$\Phi: M \to \mathrm{Hom}_R(R/(x), R)$
   对任意$\overline{b}\in M$，我们可以选$b$为只含$y$的多项式（因为$M$里的元素都能这么表示），此时$x\cdot b=xy$的倍数，在$R$中等于0。定义$\Phi(\overline{b})$为：
   $$\Phi(\overline{b})(\overline{r}) = r\cdot b \quad (\overline{r}=r+(x)\in R/(x))$$
   验证一下这是$R$-模同态：
   $$\Phi(\overline{b})(s\cdot\overline{r})=\Phi(\overline{b})(\overline{s\cdot r})=s\cdot r\cdot b = s\cdot(r\cdot b)=s\cdot\Phi(\overline{b})(\overline{r})$$
   完全符合线性要求，而且因为$x\cdot b=0$，$\Phi(\overline{b})(\overline{x})=x\cdot b=0$，和$\overline{x}=0$的条件一致。

最后验证这两个映射互逆：

• $\Psi\circ\Phi$：取$\overline{b}\in M$，$\Phi(\overline{b})$把$\overline{1}$映射到$b$，所以$\Psi(\Phi(\overline{b}))=\overline{b}$，正好回到原元素。
• $\Phi\circ\Psi$：取$\phi\in\mathrm{Hom}_R(R/(x), R)$，$\Psi(\phi)=\overline{a}$（$a=\phi(\overline{1})$且$x\cdot a=0$），$\Phi(\overline{a})$把$\overline{1}$映射到$a$，和$\phi$的定义完全一致，而循环模的同态由生成元的像唯一确定，所以$\Phi(\overline{a})=\phi$。

这样就证明了$\Psi$是$R$-模同构，也就是$\mathrm{Hom}_R(R/(x), R)\cong M=R/(x)$。

另外补充一点：本质上$\mathrm{Hom}_R(R/I, R)$总是同构于$R$中$I$的零化子$\mathrm{Ann}_R(I)={a\in R\mid I\cdot a=0}$，在这个例子里$\mathrm{Ann}_R((x))$就是所有满足$x\cdot a=0$的元素，正好是只含$y$的多项式组成的子模，和$R/(x)$的结构完全一样，这也是同构的核心原因。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Anthony