两个平移正态随机变量之和的方差证明咨询
嗨，我来帮你理清这个问题哈～首先得纠正一个关键的小误解：这里的随机变量Z不是两个正态变量的和，而是一个混合正态分布——简单来说，就是我们有50%的概率从$N(-1,1)$中抽取一个值，剩下50%的概率从$N(1,1)$中抽取一个值，这和直接把两个变量相加是完全不同的逻辑哦，不用考虑协方差哒😉
下面用两种方法来推导它的方差：
方法一：利用混合分布的矩性质
方差的核心公式是：
$$\text{Var}(Z) = E[Z^2] - (E[Z])^2$$
第一步：计算期望$E[Z]$
混合分布的期望等于各分量期望的加权平均：
$$E[Z] = \frac{1}{2} \times E[X_1] + \frac{1}{2} \times E[X_2]$$
其中$X_1 \sim N(-1,1)$，$X_2 \sim N(1,1)$，它们的期望分别是$-1$和$1$，代入得：
$$E[Z] = \frac{1}{2} \times (-1) + \frac{1}{2} \times 1 = 0$$
第二步：计算二阶矩$E[Z^2]$
对于任意随机变量，二阶矩满足$E[X^2] = \text{Var}(X) + (E[X])^2$。
- 对于$X_1 \sim N(-1,1)$：$E[X_1^2] = 1 + (-1)^2 = 2$
- 对于$X_2 \sim N(1,1)$：$E[X_2^2] = 1 + 1^2 = 2$
混合分布的二阶矩同样是各分量二阶矩的加权平均：
$$E[Z^2] = \frac{1}{2} \times 2 + \frac{1}{2} \times 2 = 2$$
第三步：计算方差
把结果代入方差公式：
$$\text{Var}(Z) = 2 - 0^2 = 2$$
方法二：直接通过密度函数积分验证
我们也可以直接对密度函数积分来计算：
$$\text{Var}(Z) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 g(x) dx - \left( \int_{-\infty}^{\infty} x g(x) dx \right)^2$$
计算期望项$\int_{-\infty}^{\infty} x g(x) dx$
$$\int_{-\infty}^{\infty} x \left( \frac{1}{2}\phi(x+1) + \frac{1}{2}\phi(x-1) \right) dx = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} x\phi(x+1)dx + \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} x\phi(x-1)dx$$
做变量替换：
- 令$u = x+1$，第一个积分变为$\int_{-\infty}^{\infty} (u-1)\phi(u)du = E[U-1] = E[U] - 1 = 0 - 1 = -1$
- 令$v = x-1$，第二个积分变为$\int_{-\infty}^{\infty} (v+1)\phi(v)dv = E[V+1] = E[V] + 1 = 0 + 1 = 1$
代入得：
$$\frac{1}{2} \times (-1) + \frac{1}{2} \times 1 = 0$$
计算二阶矩项$\int_{-\infty}^{\infty} x^2 g(x) dx$
同理：
$$\int_{-\infty}^{\infty} x^2 \left( \frac{1}{2}\phi(x+1) + \frac{1}{2}\phi(x-1) \right) dx = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} x^2\phi(x+1)dx + \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} x^2\phi(x-1)dx$$
变量替换后：
- 第一个积分变为$\int_{-\infty}^{\infty} (u-1)^2\phi(u)du = E[(U-1)^2] = \text{Var}(U-1) + (E[U-1])^2 = 1 + (-1)^2 = 2$
- 第二个积分变为$\int_{-\infty}^{\infty} (v+1)^2\phi(v)dv = E[(V+1)^2] = \text{Var}(V+1) + (E[V+1])^2 = 1 + 1^2 = 2$
代入得：
$$\frac{1}{2} \times 2 + \frac{1}{2} \times 2 = 2$$
最终方差
$$\text{Var}(Z) = 2 - 0^2 = 2$$
备注：内容来源于stack exchange，提问作者sucksatmath
