关于双有理态射收缩正射线、有效锥射线相交性及Mori定理覆盖范围的技术问询

先顺着你开头的吐槽说一句：其实这个问题正好戳中了Mori纲领里容易混淆的点——很多人一开始会以为Mori定理能处理所有双有理态射，但其实它的核心是负$K_X$射线的收缩，而$K_X$-非负的射线同样能对应重要的双有理变换，只是需要用其他工具来处理。

直接给结论：这种情况完全可能，而且Mori定理并没有“涵盖所有”双有理态射的情形。下面具体拆解：

• 首先明确你的问题场景：设$f:X \to Y$是光滑代数簇之间的双有理态射，同时是代数纤维空间（即满射、纤维连通），问是否存在$NE(X)$（有效1-锥）中的射线$R$，使得$K_X \cdot R \geq 0$。
• 举个典型例子：考虑Calabi-Yau三维簇$X$（满足$K_X \equiv 0$，即典范除子数值平凡），假设$X$中存在一条光滑有理曲线$C$，它是一个flopping curve——对应的双有理态射$f:X \to Y$是flop收缩，将$C$收缩到$Y$中的一个奇点（之后可以再flop回来得到另一个光滑簇）。此时，曲线$C$生成$NE(X)$中的一条射线$R$，而由于$K_X$数值平凡，$K_X \cdot C = 0$，自然满足$K_X \cdot R \geq 0$。这个$f$既是双有理态射，也是代数纤维空间（纤维就是曲线$C$），完美符合你的条件。
• 再解释Mori定理的边界：Mori收缩定理的核心是处理负$K_X$射线——它告诉我们，若$X$不是极小模型（即$K_X$不是nef），则$NE(X)$中必然存在$K_X$-负的射线，且对应一个收缩态射（Fano收缩、divisorial收缩或者small收缩）。但当$K_X$是nef（甚至数值平凡）时，$NE(X)$中的所有射线都满足$K_X \cdot R \geq 0$，这时候的双有理态射（比如flop、或者极小模型之间的birational映射）就不在Mori收缩定理的直接覆盖范围内，需要用极小模型纲领中后续的工具（比如flop/flips的存在性定理）来研究。

简单来说：Mori定理解决的是“如何把非极小模型收缩到更小的模型”（通过负K射线），但对于本身是极小模型（或者具有K-nonnegative射线）的簇，它并没有覆盖所有可能的双有理态射——这些态射对应的射线是K-nonnegative的，同样是代数几何中非常重要的研究对象。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user135743