请求证明初等线性代数中正交规范基的相关结论

我完全懂这种憋屈的感觉——有些作者觉得“trivial到没必要写”的证明，对咱们刚接触内积空间的人来说，可能就是卡壳的关键！别慌，咱们从正交规范基的核心定义出发，一步步把Anton这本《Elementary Linear Algebra》里的定理7.1.4证清楚。

首先先明确已知条件：

• $S = {\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n}$ 是n维内积空间$V$的正交规范基，所以对任意$i,j$：
  $$\langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j \rangle = \begin{cases} 1 & i=j \ 0 & i≠j \end{cases}$$
• 向量$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$在基$S$下的坐标表示意味着：
  $$\mathbf{u} = u_1\mathbf{v}_1 + u_2\mathbf{v}_2 + ... + u_n\mathbf{v}_n$$
  $$\mathbf{v} = v_1\mathbf{v}_1 + v_2\mathbf{v}_2 + ... + v_n\mathbf{v}_n$$

接下来分三个部分证明：

(a) 范数公式的证明 #

根据内积空间中范数的定义，$|\mathbf{u}| = \sqrt{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle}$。我们把$\mathbf{u}$的线性表示代入这个内积：
$$
\begin{align*}
\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle &= \langle u_1\mathbf{v}_1 + u_2\mathbf{v}_2 + ... + u_n\mathbf{v}_n, u_1\mathbf{v}_1 + u_2\mathbf{v}2 + ... + u_n\mathbf{v}n \rangle \
&= \sum{i=1}^n \sum{j=1}^n u_i u_j \langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j \rangle
\end{align*}
$$
这里用到了内积的双线性性质（对两个变量都线性）。现在结合正交规范基的定义：当$i≠j$时，$\langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}j \rangle = 0$，所以交叉项全部消失，只剩下$i=j$的项：
$$
\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle = \sum{i=1}^n u_i^2 \langle \mathbf{v}i, \mathbf{v}i \rangle = \sum{i=1}^n u_i^2 \times 1 = \sum{i=1}^n u_i^2
$$
两边开平方就得到：
$$
|\mathbf{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + \dots + u_n^2}
$$

(b) 距离公式的证明 #

内积空间中距离的定义是$d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = |\mathbf{u} - \mathbf{v}|$。先计算$\mathbf{u}-\mathbf{v}$的线性表示：
$$
\mathbf{u} - \mathbf{v} = (u_1 - v_1)\mathbf{v}_1 + (u_2 - v_2)\mathbf{v}_2 + ... + (u_n - v_n)\mathbf{v}_n
$$
这时候直接套用(a)中已经证明的范数公式，把$\mathbf{u}-\mathbf{v}$的坐标$(u_1-v_1, u_2-v_2, ..., u_n-v_n)$代入，就能得到：
$$
d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \sqrt{(u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2 + \dots + (u_n - v_n)^2}
$$

(c) 内积公式的证明 #

直接展开$\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle$，同样利用内积的双线性性质：
$$
\begin{align*}
\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle &= \langle u_1\mathbf{v}_1 + ... + u_n\mathbf{v}_n, v_1\mathbf{v}1 + ... + v_n\mathbf{v}n \rangle \
&= \sum{i=1}^n \sum{j=1}^n u_i v_j \langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}j \rangle
\end{align*}
$$
还是用正交规范基的性质，交叉项（$i≠j$）全部为0，只剩下$i=j$的项：
$$
\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \sum{i=1}^n u_i v_i \langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}i \rangle = \sum{i=1}^n u_i v_i \times 1 = u_1v_1 + u_2v_2 + \dots + u_nv_n
$$

其实整个证明的核心就是正交规范基的“正交”和“规范”两个性质，把交叉项消掉，只剩下对角项——是不是比想象中简单多了？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Z8Michael