关于ℝⁿ中凸集相关命题的正确性疑问

嘿，咱们一步步拆解这些命题，重点解决你纠结的选项d的问题！

先逐个分析每个选项：

• 选项(a)：“ℝⁿ中每个连通子集都是凸集”——这是错的。举个简单例子：ℝ²里的集合${(x,y) \mid y=|x|}$（就是V形线），它是连通的，但取两点$(-1,1)$和$(1,1)$，它们连线的中点$(0,0)$不在这个集合里，不符合凸集的定义。
• 选项(b)：“ℝⁿ中每个凸子集都是紧集”——这也不对。比如整个ℝⁿ本身就是凸集，但它无界，不满足紧集“有界且闭”的要求；再比如ℝ中的开区间$(0,1)$，是凸集但不是紧集（不闭）。
• 选项(c)：“ℝⁿ中每个凸子集都是连通的”——这个是对的。凸集的定义是任意两点的连线完全包含在集合内，这意味着任意两点都能通过集合内的路径（就是两点的连线）连接起来，满足路径连通性，而路径连通的集合一定是连通的。

接下来重点说你疑惑的选项(d)：你误以为这个并集是整个ℝ²平面？其实不是！这个集合是第一象限（含坐标轴）和第三象限（含坐标轴）的并集，第二象限和第四象限的点都不在里面（比如$(1,-1)$、$(-1,1)$这类点都不属于这个集合）。

咱们用凸集的定义来验证：取集合里的两个点，比如$(1,0)$（属于第一象限的x轴）和$(0,-1)$（属于第三象限的y轴），它们的连线参数方程是$(1-t, -t)$，其中$t \in [0,1]$。当$t=0.5$时，得到点$(0.5, -0.5)$——这个点$x>0$但$y<0$，既不在第一象限（不满足$y\geq0$）也不在第三象限（不满足$x\leq0$），所以不在选项d的集合里。这就违反了凸集的核心要求：任意两点的连线必须完全包含在集合内，因此选项d的集合不是凸集。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者math student