如何严谨证明映射f:B→ℕ（定义为f(2ᵏ·3ⁿ)=nk，n,k∈ℕ）是一个函数？

嗨，你的问题本质上是要确认集合B里的每个元素都能唯一对应一对(k,n)，这样f的定义才不会出现“同一个元素映射到多个值”的矛盾，对吧？其实这里直接用**算术基本定理（自然数唯一分解定理）**就能给出最严谨的证明，比你之前尝试的对数方法更直接。

先回忆下算术基本定理的核心内容：每个大于1的自然数都可以唯一分解成若干质数的乘积，这里的“唯一”是指不考虑质数的排列顺序时，分解式里每个质数的指数都是确定的、唯一的。

回到你的问题，集合B中的元素都是形如2ᵏ·3ⁿ的自然数（k,n∈ℕ）。假设存在两组不同的指数对(k₁,n₁)和(k₂,n₂)，使得：
$$2^{k_1}·3{n_1}=2^{k_2}·3{n_2}$$

把等式整理一下，移项得到：
$$2^{k_1 - k_2}=3^{n_2 - n_1}$$

接下来分两种情况讨论：

1. 若k₁≠k₂：
   左边是2的非零整数次幂——要么是大于1的偶数（当k₁>k₂时），要么是小于1的分数（当k₁<k₂时）；
   右边是3的非零整数次幂——要么是大于1的奇数（当n₂>n₁时），要么是小于1的分数（当n₂<n₁时）。
   显然偶数和奇数不可能相等；而如果是分数的情况，假设存在非零整数a,b使得2ᵃ=3ᵇ，两边取自然对数得a·ln2 = b·ln3，即ln2/ln3 = b/a，这意味着log₃2是有理数。但我们可以严谨证明log₃2是无理数：

   假设log₃2 = p/q（p,q为正整数），根据对数定义得3^(p/q)=2，两边同时取q次方得3ᵖ=2ᵠ。但左边是3的倍数，右边是2的倍数，而3和2互质，这个等式不可能成立，因此log₃2是无理数。
   这就说明2^(k₁-k₂)=3^(n₂-n₁)不可能成立，因此k₁≠k₂的情况不存在。

2. 若k₁=k₂：
   代入原等式直接得到3ⁿ¹=3ⁿ²，因为3是质数，指数必然唯一，所以n₁=n₂。

综上，集合B中的每个元素都只能对应唯一的一组(k,n)，因此f的定义是明确的，不会出现一个元素映射到多个值的情况，f确实是一个函数。

另外补充下你之前的思路：你用对数推导的方向是对的，只要补上log₃2是无理数的严谨证明，就能得出只有当k₁=k₂且n₁=n₂时等式成立的结论，本质和用算术基本定理的思路是相通的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者xoux