凸体宽度函数$f:\mathbb{S}^2\longrightarrow\mathbb{R}$的连续性证明求助

嗨，我来帮你梳理一下这个宽度函数连续性的证明思路，应该能帮你搞定这个极限问题～

首先咱们先把定义关联到凸体的支撑函数上，这会让问题清晰很多：

• 对于3维空间里的凸体$K$，支撑函数$h_K:\mathbb{S}^2\to\mathbb{R}$定义为 $h_K(v)=\sup{x\cdot v \mid x\in K}$，这个函数是凸体的核心性质之一，本身就是连续的。
• 你的宽度函数$f(v)$其实就是$h_K(v)+h_K(-v)$：因为支撑超平面$H(K,v)$的方程是$x\cdot v = h_K(v)$，$H(K,-v)$的方程是$x\cdot(-v)=h_K(-v)$（也就是$x\cdot v = -h_K(-v)$），两个平行平面的距离就是$\frac{|h_K(v) - (-h_K(-v))|}{|v|}$，而$v$是单位向量，所以距离正好是$h_K(v)+h_K(-v)$，也就是你定义的$f(v)$。

如果你想直接从$\lim_{w\to v}|f(w)-f(v)|$入手，用ε-δ的方式严格证明的话，可以这么走：

1. 利用凸体的紧性：因为$K$是紧集，所以存在一个常数$M>0$，使得所有$x\in K$都满足$|x|≤M$（紧集在欧氏空间里有界）。
2. 估计支撑函数的差：对于任意单位向量$w$和$v$，有
   $$|h_K(w)-h_K(v)|≤\sup_{x\in K}|x\cdot(w-v)|$$
   这个不等式的来源是：
   • 一方面，$h_K(w)≥x_v\cdot w$（$x_v$是$K$中使得$h_K(v)=x_v\cdot v$的点，紧集上sup能取到），所以$h_K(w)-h_K(v)≥x_v\cdot(w-v)$；
   • 另一方面，$h_K(v)≥x_w\cdot v$（$x_w$同理），所以$h_K(v)-h_K(w)≥x_w\cdot(v-w)$；
   • 综合起来就得到$|h_K(w)-h_K(v)|≤\sup_{x\in K}|x\cdot(w-v)|$，再结合柯西不等式，这个上界不超过$M|w-v|$。
3. 推导宽度函数的连续性：
   $$|f(w)-f(v)|=|h_K(w)+h_K(-w)-h_K(v)-h_K(-v)|≤|h_K(w)-h_K(v)|+|h_K(-w)-h_K(-v)|$$
   当$w\to v$时，$|w-v|\to0$，同时$|-w-(-v)|=|w-v|\to0$，所以上面两项都趋近于0，因此$\lim_{w\to v}|f(w)-f(v)|=0$，也就是$f$是连续函数。

另外从直观上理解：当单位法向量$w$趋近于$v$时，对应的支撑超平面$H(K,w)$会连续地靠近$H(K,v)$，两个平行平面的距离自然也会连续变化，这和我们的严格推导是一致的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者R.F.M.