拉回丛等价与映射同伦的反向蕴含关系问询

嘿，这个问题问到点子上了——咱们都知道同伦的映射拉回的丛一定等价，但反过来可就不是随便成立的，得看具体的丛和空间情况，我给你拆解一下：

首先得明确：一般情况下，拉回丛等价≠映射同伦，最简单的反例就能说明：

• 取底空间$M=S^{1$（单位圆），$E$是平凡丛$S}1 \times \mathbb{R}$。这时候不管你取$N$上的什么映射$f,g:N \to S^{1$，它们的拉回丛$f}*E$和$g^{*E$都是$N$上的平凡线丛，自然等价，但$f$和$g$完全可能不同伦。比如$N=S}1$时，$f$是恒等映射（绕圆一圈），$g$是常值映射（钉在某一点），这俩显然不同伦，但拉回丛都是平凡的。

那什么时候反向蕴含成立呢？这得看$E$是不是具备“检测映射同伦”的能力，下面是几个常见的成立场景：

• 当$E$是分类空间上的万有丛时
  比如$E$是Grassmann流形$\text{Gr}(k,\mathbb{R}^\infty)$上的万有$k$维向量丛，或者更一般地，$E$是拓扑群$G$的分类空间$B_G$上的万有$G$丛$EG \to B_G$。这时候，$N$上的$G$丛等价类和映射$N \to B_G$的同伦类是一一对应的——所以如果$f^*E \cong g^*E$，直接就推出$f$和$g$同伦，这正是分类空间的核心定义性质。

• 当$E$的拉回能完全捕捉映射的同伦信息时
  举个具体例子：$M=S^1$，$E$是它的万有覆盖丛$\mathbb{R} \to S^1$。这时候，对于映射$f,g:N \to S^1$，$fE$和$g^E$都是$N$的覆盖空间，它们等价当且仅当$f$和$g$诱导的基本群同态$f_=g_:\pi_1(N) \to \pi_1(S^{1)=\mathbb{Z}$是相同的。而对于连通的CW复形$N$来说，基本群同态相同就意味着$f$和$g$同伦（$S}1$是Eilenberg-MacLane空间$K(\mathbb{Z},1)$），所以这时候反向蕴含成立。

• 当$M$是某些特定的空间，且$E$是其特征丛时
  比如$M=\mathbb{CP}^n$，$E$是其上的 tautological线丛（典型线丛）。对于映射$f,g:N \to \mathbb{CP}^n$，$f*E$和$g^{*E$等价当且仅当它们的第一陈类$c_1(f}*E)=c_1(g^{*E)$。而对于$N=S}2$来说，映射$f,g:S^2 \to \mathbb{CP}^1=S2$的同伦类由度数决定，度数恰好和$c_1(f^*E)$的取值一一对应，所以这时候拉回丛等价就等价于映射同伦。

总结一下：反向蕴含成立的关键，是$E$的拉回等价恰好对应着映射在同伦分类下的等价——要么$E$本身就是用来分类映射同伦的万有丛，要么$E$的特征类（比如陈类、欧拉类等）能完全区分映射的同伦类。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Joe