全纯函数模平方复可微性等价条件的证明推导问询
嗨，看起来你已经在这个证明上推进了一大步，咱们把剩下的逻辑链条补全就好啦！
首先回顾已知的关键条件：因为$f$是全纯函数，所以它的实部$u(x,y)$和虚部$v(x,y)$满足Cauchy-Riemann方程：
$$u_x = v_y, \quad u_y = -v_x$$
你已经推导出，当$|f|^2 = u^2 + v^2$复可微时，必须满足以下两个方程：
I) $u u_x + v v_x = 0$
II) $u u_y + v v_y = 0$
现在把Cauchy-Riemann方程代入方程II，把$u_y$替换成$-v_x$，$v_y$替换成$u_x$，方程II就变成了：
$$u(-v_x) + v u_x = 0 \implies -u v_x + v u_x = 0$$
现在我们得到了关于$u_x$和$v_x$的线性齐次方程组：
$$
\begin{cases}
u \cdot u_x + v \cdot v_x = 0 \
v \cdot u_x - u \cdot v_x = 0
\end{cases}
$$
$$
\begin{pmatrix} u & v \ v & -u \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} u_x \ v_x \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}
$$
对于线性齐次方程组，要么只有零解，要么有非零解——这取决于系数矩阵的行列式是否为0：
如果系数矩阵的行列式为0：
计算行列式：$\det\begin{pmatrix} u & v \ v & -u \end{pmatrix} = -u^2 - v^2 = -(u^2 + v^2) = -|f(z)|^2$
行列式为0意味着$|f(z)|^2 = 0$，也就是$u(x,y)=0$且$v(x,y)=0$，即$f(z)=0$。如果系数矩阵的行列式不为0：
此时方程组只有零解，也就是$u_x = 0$且$v_x = 0$。结合Cauchy-Riemann方程，$u_y = -v_x = 0$，$v_y = u_x = 0$，所以$f'(z) = u_x + i v_x = 0$。
这样就完整覆盖了所有可能的情况，顺利推出了**当$|f|^2$复可微时，要么$f(z)=0$，要么$f'(z)=0$**的结论。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Think
