关于Goldbach函数与欧拉Totient函数相关素数猜想的可行性验证问询

大家好，我最近在研究一个结合了Goldbach函数和欧拉Totient函数的素数猜想，想请社区里的大佬帮忙看看这个猜想是否能成立，或者有没有反例的线索？

先明确一下涉及的函数和定义：

• $\phi$ 是欧拉Totient函数
• $G$ 是Goldbach函数（统计一个偶数能拆成两个素数之和的不同无序拆分方式的数量）
• $n$ 是一类特殊的数：形式为 $20000\ldots0$，也就是数字2后面跟着任意多个0的偶数

猜想核心 #

对于所有上述形式的$n$，计算 $p = \phi(1 + G(n)) + 1$，得到的$p$一定是素数。

我的测试进展 #

我已经测试到了$n=20000000$（2后面7个0），比如这个$n$对应的$G(n)$计算后，代入公式得到$p=45361$，验证过确实是素数。但更大的$n$我没法继续测试了——因为$G(n)$的数值会变得非常大，WolframAlpha已经处理不了这么大的计算量。

所以想请教大家：这个猜想是否真的对所有符合条件的$n$都成立？有没有办法从理论上证明或者找到反例？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Craw Craw