关于$l^\infty(\Omega)$中随机对象弱收敛是否蕴含一致范数下依概率收敛的技术疑问

嘿，我最近在啃一篇论文里的证明，遇到个卡壳的问题想请教大家：

先明确几个符号定义：

• 用$\rightsquigarrow$表示弱收敛
• $l^\infty(\Omega)$代表度量空间$(\Omega, d)$上的有界函数构成的空间

现有一列$l^\infty(\Omega)$中的随机对象$M_n$，已经知道它弱收敛到$M$，也就是$M_n \rightsquigarrow M$。

我的核心疑问是：$\lVert M_n - M \rVert _{l^{\infty} (\Omega)}$是否会依概率收敛到0？

我自己已经知道的是：依概率收敛蕴含依分布收敛，但反过来的结论并不总是成立——不过这里是针对$l^\infty(\Omega)$空间里的随机对象，所以不确定这个场景下是否有特殊结论。

相关的参考资料我也找了：Petersen和Müller那篇关于欧氏预测元的Fréchet回归论文的最后一段，还有van der Vaart(1996)里的定理1.3.6（连续映射定理），但还是没完全理清楚这个问题的答案。

⚠️ 特别提醒：这里的$\Omega$不是概率空间，而是一个普通的度量空间，别搞混概念啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者d8g3n1v9