三元正数不等式的证明求助

各位大佬好，我最近碰到一个三元正数的不等式证明题，想请大家帮忙指点一下思路：

已知 (a,b,c>0)，需要证明：
$$\sqrt{(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}\ge 3+\frac{1}{3}\sum_{cyc}\left(\frac{b-c}{b+c}\right)^2.$$

这个不等式比我们熟知的经典结论更强：
$$(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9.$$

我自己试着先对不等式右边做了化简：
$$3+\frac{1}{3}\sum_{cyc}\left(\frac{b-c}{b+c}\right)^{2=\frac{1}{3}\left(9+\sum_{cyc}\frac{(b+c)}2-4bc}{(b+c)^2}\right)$$
$$=\frac{4}{3}\left(3-\sum_{cyc}\frac{bc}{(b+c)^{2}\right)=\frac{4}{3}\sum_{cyc}\frac{b}2+c^2+bc}{(b+c)2}$$

化简到这一步之后，我就不知道该怎么继续往下推导了，有没有大佬能给我一些建议或者提示呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user979185