如何在Eigen中无需显式构造转置稀疏矩阵实现高效向量乘法？

你提到的A.transpose()会显式构造转置矩阵是误解——Eigen对稀疏矩阵的转置操作默认返回的是一个轻量级的转置表达式对象，而非实际复制所有非零元素生成的新矩阵。只有当你把A.transpose()赋值给一个独立的SparseMatrix变量时，才会触发显式构造。

基于这个特性，你可以通过两步稀疏矩阵-向量乘法完成计算，全程无需显式构造Aᵀ或AᵀA：

#include <Eigen/Sparse>

using namespace Eigen;

int main() {
    SparseMatrix<double> A;
    VectorXd x;
    // 假设A和x已正确初始化

    // 第一步：计算中间向量y = Ax
    VectorXd y = A * x;
    // 第二步：计算最终结果 = Aᵀ * y，利用转置表达式，无额外内存开销
    VectorXd result = A.transpose() * y;

    return 0;
}

关键细节说明 #

• 转置表达式A.transpose()仅存储原矩阵的引用和转置标记，内存占用可以忽略
• 两步乘法都是稀疏矩阵与稠密向量的运算，效率远高于先构造稠密的AᵀA再乘x（毕竟AᵀA密度远高于A）
• 即使直接写链式表达式A.transpose() * A * x，Eigen也会通过表达式模板优化，避免显式构造Aᵀ或AᵀA，但分两步写更直观，也方便调试中间结果

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Daniel Langr