凸性分析中通常导数与分布/离散导数的对比及应用技术问询

问题背景 #

设 $G_1, G_2:[0,1] \rightarrow \mathbb R$ 是连续的分段仿射凸函数，满足 $G_1(0)=G_2(0)=0$，且 $G_1-G_2$ 并非处处为正（即两者图像至少相交一次）。我关注的是满足以下两个条件的连续函数 $F:[0,1] \rightarrow \mathbb R$ 的集合：

• $G_1-F$ 仍然是凸函数
• $G_1-F\geq G_2$

我的猜想是：$F$ 可以是任何落在 $G_1-G_2$ 的凸包下方的连续函数（这里的凸包指的是位于 $G_1-G_2$ 下方的最大凸函数）。目前我还远未完成证明，在研究这个问题的过程中，我开始思考凸性与弱导数（分布意义下）的关系，因此有了下面的问题。

核心问题 #

要让 $G_1-F$ 是凸函数，$F$ 的“凸性程度”最多只能和 $G_1$ 相当。衡量凸性的常用指标是二阶导数——如果考虑满足 $G_1'' \geq F''$ 的函数 $F$，确实能满足第一个条件。但当这些导数在通常意义下不存在时，该怎么办？

在这个分段仿射连续函数的场景中，我们能否用其他类型的导数来描述凸性，而不必回到凸性的合成定义？

这里的问题在于 $G$ 是分段仿射的：一阶导数问题不大，我们可以选择左导数，得到一个左连续的阶梯函数。但如果对这个阶梯函数再取左导数，就会丢失所有信息，因为结果是0。不过这个左连续阶梯函数在分布意义下有导数（或者说离散意义下的跳跃），表现为狄拉克δ函数的加权和。

举个例子：假设 $G_1$ 的左导数在 $[0,1/3)$ 上为 $-1$，在 $[1/3,2/3]$ 上为 $-1/2$，在 $[2/3,1]$ 上为 $2/3$。那么这个函数的分布导数为 $g_1''(x)=\frac{1}{2}\delta(x-1/3)+ \frac{7}{6}\delta(x-2/3)$（注：原文中用指示函数表示，实际应为狄拉克δ函数，对应阶梯函数在跳跃点的导数）。

我们能否用 $g_1''$ 来替代不存在的 $G_1''$，进而应用 $G_1'' \geq F''$ 这个条件？比如，这个不等式是否可以理解为 $\frac{1}{2} \geq F''(1/3)$ 且 $\frac{7}{6}\geq F''(2/3)$——其中 $F''$ 在通常二阶导数存在时取通常导数，否则取分布二阶导数？

或者我们是否可以对 $g_1''$ 做一些修正？比如定义 $\tilde g_1''(x)=\frac{1}{2}\mathbf{1}{[1/3,2/3)}(x)+ \frac{7}{6}\mathbf{1}{[2/3,1]}(x)$，或者分段仿射函数 $\hat g_1''$：$\hat g_1''(0)=0$，$\hat g_1''(1/3)=1/2$，$\hat g_1''(2/3)=7/6$，$\hat g_1''(1)=0$。当然，无论选择哪种修正方式，当 $F$ 的通常二阶导数不存在时，都必须对 $F''$ 应用相同的修正规则。

这些方法是否能确保 $G_1-F$ 是凸函数？如果以上方法都不行，有没有其他利用分布导数实现目标的途径？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者W. Volante