关于函数界中整数点计数常数C的显式表达式问询

你提到的这个整数点计数问题其实是d维欧氏空间中球壳内格点数量的上界估计，咱们一步步拆解清楚：

首先先明确你的推导背景：
你正在推导$g(t,\eta)$的上界，从最初的求和拆分得到：
$$
\begin{align} g(t,\eta) &\le A D^{(K-d)/2} \sup_{x \in \mathbb{R}^d} \sum_{m \in \mathbb{Z}^d, |x-m|>t}|x-m|^{-K} \ & =A D^{(K-d)/2} \sup_{x \in \mathbb{R}^d} \sum_{j=0}^{\infty} \sum_{m \in \mathbb{Z}^{d,t+j<|x-m|<t+j+1}|x-m|}{-K}\end{align}
$$
作者引入了关键估计：对任意$x\in\mathbb{R}^d$，满足$j \le |x-m| \le j+1$的整数点$m\in\mathbb{Z}^d$的数量被$C \cdot j^{d-1}$控制，进而得到：
$$
\begin{align} g(t,\eta) &\le A D^{(K-d)/2}C \sum_{j=0}^{{\infty}|t+j|}{d-1-K}\end{align}
$$

为什么这个格点数量有这样的上界？ #

集合${m\in\mathbb{Z}^d \mid j \le |x-m| \le j+1}$是格点$\mathbb{Z}^d$落在以$x$为中心、内半径$j$、外半径$j+1$的球壳中的点。不管$x$取何值，我们可以通过体积覆盖论证来估计这个数量：
每个格点$m$对应一个边长为1的单位立方体$[m_1-1/2,m_1+1/2]\times\cdots\times[m_d-1/2,m_d+1/2]$，如果$|x-m|\le j+1$，那么这个立方体的所有点到$x$的距离不会超过$j+1 + \sqrt{d}/2$（立方体对角线的一半）。同理，若$|x-m|\ge j$，则立方体至少有部分区域在半径$j - \sqrt{d}/2$的球外。

因此，球壳内的格点数量不会超过“半径$j+1+\sqrt{d}/2$的球体积”减去“半径$j-\sqrt{d}/2$的球体积”（当$j\ge\sqrt{d}/2$时）；对于小$j$（比如$j<\sqrt{d}/2$），这个数量是一个固定的有界值。

显式的常数C构造 #

我们可以给出只依赖于空间维度$d$的显式常数$C$，分两种情况整合：

1. 小$j$的固定上界：当$j\le1$时，满足条件的格点数量最多不超过$(2\lceil\sqrt{d}\rceil+1)^d$（覆盖中心$x$周围所有可能的格点的立方体的最大数量），记这个固定值为$M_d$。
2. 大$j$的渐近上界：当$j$足够大时，球壳体积的主导项是$d\omega_d j^{{d-1}$（$d$维球壳的表面积，$\omega_d$是d维单位球体积），结合覆盖的额外余量，我们可以取系数为$d\omega_d(1+\sqrt{d})}{d-1}$。

最终，显式常数$C$可以取这两个值的最大值：
$$
C = \max\left{ (2\lceil\sqrt{d}\rceil+1)^d, d \cdot \frac{\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2+1)} \cdot (1+\sqrt{d})^{d-1} \right}
$$
其中$\Gamma(\cdot)$是伽马函数，$\omega_d = \frac{\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2+1)}$是d维单位球的标准体积公式。

这个$C$满足：对所有$j\ge0$和任意$x\in\mathbb{R}^d$，满足$j\le|x-m|\le j+1$的$m\in\mathbb{Z}^d$的数量不超过$C j^{{d-1}$（当$j=0$时，$j}{d-1}$在$d>1$时为0，但此时$C$的第一个分量$M_d$会覆盖这个情况）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user440024