关于扩充实数集作为实数域上向量空间时结合律与信息损失关系的技术问询

我最近在做Axler的《Linear Algebra Done Right》里的1.B.6题，题目内容如下：

设$\infty$和$-\infty$是两个不在$\mathbb{R}$中的不同对象。在集合$\mathbb{R} \cup {\infty} \cup {-\infty}$上定义加法和数乘运算，具体规则如下：
两个实数的加法和乘法遵循常规定义；对任意$t \in \mathbb{R}$，定义：
$$
\begin{align*}
& t \infty = \begin{cases}
-\infty & \text{ 若 } t < 0 \
0 & \text{ 若 } t = 0 \
\infty & \text{ 若 } t > 0
\end{cases}
; ; ; ; ;
t(-\infty) = \begin{cases}
\infty & \text{ 若 } t < 0 \
0 & \text{ 若 } t = 0 \
-\infty & \text{ 若 } t > 0
\end{cases} \
& t + \infty = \infty + t = \infty, ; ; ; ; ; t + (-\infty) = (-\infty) + t = -\infty, \
& \infty + \infty = \infty, ; ; ; ; (-\infty) + (-\infty) = -\infty, ; ; ; ; \infty + (-\infty) = 0.
\end{align*}
$$
问$\mathbb{R} \cup {\infty} \cup {-\infty}$是否是$\mathbb{R}$上的向量空间？请说明理由。

我已经搞明白这个集合不是实数域上的向量空间，因为它不满足向量空间要求的结合律和分配律。但在深究结合律失效的原因时，我产生了一个疑问：结合律是不是在某种基础层面上，要求运算不能随意丢失之前操作的信息？

举个具体的例子来说：取$x \in \mathbb{R}$，$y = \infty$，$z = -\infty$，两种不同的加法分组会得到完全不同的结果：

• 按$(x + y) + z$分组计算：$(x + \infty) + (-\infty) = \infty + (-\infty) = 0$
• 按$x + (y + z)$分组计算：$x + (\infty + (-\infty)) = x + 0 = x$

这两种结果的差异，在我看来是因为：当实数和$\infty$或$-\infty$相加时，运算直接“丢失了”参与运算的实数的信息——不管你加的是哪个具体的实数，结果都是$\infty$或者$-\infty$。我在想，这种类型的信息丢失是不是只有在和加法单位元（也就是0）运算时才是被允许的？

我知道结合律的标准定义是“运算的分组方式不影响最终结果”，但能不能从“不允许无正当理由的信息丢失”这个角度来理解结合律？这两种理解方式是等价的吗？我这样的思路有没有什么问题？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Then-Brief-864