紧集上一致收敛的连续函数列在点列处的收敛性分析
咱们来分析一类连续函数列的收敛性问题：给定连续函数 $f_n,f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，满足 $f_n$ 在紧集上一致收敛到 $f$，再给定一个实数点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$，我们分两种情况讨论 $|f_n(x_n)-f(x_n)|$ 的极限行为：
一、点列 $(x_n)$ 有界的情况
此时可以直接得出结论：
$$\lim_{n\to\infty}|f_n(x_n)-f(x_n)|=0$$
证明过程
因为点列 $(x_n)$ 有界，所以存在正数 $K$，使得所有的 $x_n$ 都包含在紧集 $[-K,K]$ 中。根据紧集上一致收敛的定义，对于这个紧集 $[-K,K]$，有：
$$
\lim_{n\to\infty}|f_n(x_n)-f(x_n)| \leq \lim_{n\to\infty}\sup_{y\in [-K,K]}|f_n(y)-f(y)|=0
$$
由于不等式左边的绝对值是非负的，因此必然等于0，结论得证。
二、点列 $(x_n)$ 无界的情况
这种情况下，如果不对函数列 $(f_n)$ 和极限函数 $f$ 附加额外条件，无法保证 $\lim_{n\to\infty}|f_n(x_n)-f(x_n)|$ 存在。
反例说明
我们构造一个直观的反例：
定义函数列 $f_n(x)=0$ 对所有 $x\in[-n,n]$，并将其连续延拓到整个实数轴（比如在区间 $(n,2n]$ 上线性连接到某个指定值）。显然这个函数列在任意紧集上都是一致收敛到0的——因为任何紧集都能被某个 $[-M,M]$ 包含，当 $n>M$ 时，$f_n$ 在这个紧集上恒为0，自然满足一致收敛的要求。
现在取无界点列 $x_n=2n$，此时 $x_n$ 落在 $[-n,n]$ 之外，我们可以通过调整延拓方式让 $f_n(x_n)$ 的行为变得不确定：
- 若延拓后令 $f_n(2n)=n$，则 $|f_n(x_n)-f(x_n)|=n$，这个序列会趋向于无穷，不存在极限；
- 若延拓后令 $f_n(2n)=\sin n$，则 $|f_n(x_n)-f(x_n)|=|\sin n|$，这个序列会在 $[0,1]$ 区间内震荡，没有确定的极限值。
这就清晰地说明，当点列无界时，没有额外约束的话，我们无法推断 $|f_n(x_n)-f(x_n)|$ 的极限是否存在。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者El_mago
