推导误差传播乘积法则时与正态分布变量方差推导结果矛盾的问题咨询

我最近在复习误差分析的知识，想做个小练习，试着用代数方法推导误差传播的乘积法则：

\begin{equation}\tag{1}\label{error}
\frac{\delta(x\cdot y)}{|x\cdot y|} = \sqrt{\left(\frac{\delta x}{x}\right)^{2}+\left(\frac{\delta y}{y}\right)^{2}}
\end{equation}

为了简化代数运算，我假设(x)和(y)是围绕0分布的变量。我的推导步骤如下：

因为(x)和(y)是独立测量的，得到某组(x)和(y)的概率（为了简化省略了前置系数）是两者概率的乘积：

$$
P(x,y) \propto \exp\left(-\frac{1}{2} \frac{x^{{2}}{\sigma_{x}}{2}}\right)\cdot \exp\left(-\frac{1}{2} \frac{y^{{2}}{\sigma_{y}}{2}}\right) = \exp\left[-\frac{1}{2} \left(\frac{x^{{2}}{\sigma_{x}}{2}} + \frac{y^{{2}}{\sigma_{y}}{2}}\right)\right].
$$

我的计划是把指数部分用(x\cdot y)重新表示，然后直接读出标准差。于是我做了下面的变形：

$$
\frac{x^{{2}}{\sigma_{x}}{2}} + \frac{y^{{2}}{\sigma_{y}}{2}} = \frac{x^{{2}\sigma_{y}}{2}+y^{{2}\sigma_{x}}{2}}{\sigma_{x}^{{2}\sigma_{y}}{2}} = \frac{x^{2}y{2}\left(\frac{\sigma_{y}^{2}}{y{2}} + \frac{\sigma_{x}^{2}}{x{2}}\right)}{\sigma_{x}^{{2}\sigma_{y}}{2}}
$$

然后我就假设描述(x\cdot y)的分布的“新”方差(\sigma^2)应该是：

$$
\sigma^{2} = \frac{\sigma_{x}^{{2}\sigma_{y}}{2}}{\left(\frac{\sigma_{y}^{2}}{y{2}} + \frac{\sigma_{x}^{2}}{x{2}}\right)}
$$

但这个结果和公式\eqref{error}完全不符。奇怪的是，它刚好是公式里分数的倒数，比如下面这样：

$$
\frac{\sigma^{2}}{x{2}y^{2}} = \frac{\sigma_{x}^{{2}\sigma_{y}}{2}}{\sigma_{y}^{2}x{2} + \sigma_{x}^{2}y{2}} = \frac{1}{\frac{\sigma_{y}^{2}}{y{2}} + \frac{\sigma_{x}^{2}}{x{2}}}
$$

我现在开始怀疑这个推导方法到底对不对，或者是不是我哪里犯了低级的代数错误？能不能帮我看看问题出在哪？提前谢谢大家了！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者vreithinger