关于表示任意数量多元多项式平方和所需最小多项式平方数的技术问询

大家好，我最近在研究多项式平方和的相关问题，遇到了一个困惑，想请教各位：

先明确一下相关集合的定义：
设$Q^{(n, d)}$是$n$个变量、次数为$d$的实多项式集合，$S_k^{(n, d)}$是任意$k$个这类多项式的平方和构成的集合：
$$
S_k^{(n, d)} := \left\lbrace \sum_{i = 1}^k q_i^2\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) \ \middle| \ q_i \in Q^{(n, d)}, \ i \in \left\lbrace 1, 2, \ldots, k \right\rbrace \right\rbrace.
$$

我的核心问题是：找到最小的$k$（可能依赖于变量数$n$和次数$d$），使得
$$
S_k^{(n, d)} = S_{k + 1}^{(n, d)} = S_{k + 2}^{(n, d)} = \ldots
$$
换句话说，要表示任意数量的多项式平方之和，最多需要多少个多项式平方就足够了？

目前我已整理的结论 #

• 单变量多项式（$n=1$）：无论次数$d$是多少，只需要最多2个平方就能表示任意数量的多项式平方之和。
• 一次多项式（$d=1$）：无论变量数$n$是多少，最多需要$n+1$个平方。
• 二元二次多项式（$n=2, d=2$）：最多需要3个平方（以上结论均来自一篇学术文章）。
• 利用矩阵平方表示的方法，最坏情况下可以将这类平方和表示为$\binom{n+d}{n}$个多项式平方，但这种方法既不保证表示的唯一性，也不保证使用的平方数是最优的。
• 任意$n$变量有理函数的平方和，可以表示为最多$2^n$个有理函数的平方（同样来自上述文章，基于Pfister在1967年的研究成果）。

我的思考与猜想 #

我注意到很多相关研究都聚焦于判断一个多项式是否为半正定，但半正定多项式是我关注的平方和多项式的超集，和我的问题关联度不高。

我猜想对于多项式的情况，也满足$k \le 2^n$——也就是把Pfister关于有理函数的结论推广到多项式领域，但我自己没法完成这个证明，希望能得到各位的指点或者相关的研究线索。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mrlovre