二次函数非负约束下$rac{a+b+c}{b-a}$最小值的求解方法拓展咨询

问题：已知对所有实数$x$，二次函数$ax^2 + bx + c \geq 0$成立，其中实数$a, b, c$满足$a < b$，求$\frac{a+b+c}{b-a}$的最小值。

我已经通过两种方法得到了答案：

• 方法一：先利用二次函数非负的判别式条件$b^2 - 4ac \leq 0$，令$b = a + k$（$k>0$，因为$a < b$），通过代数变形结合AM-GM不等式，最终得到$\frac{a+b+c}{b-a} \geq 3$。
• 方法二：令$t = \frac{b}{a}$，结合$\frac{b^2}{4a2} = \frac{t^2}{4} \leq \frac{c}{a}$（由判别式推导而来），将目标式转化为仅含$t$的表达式，再用微积分求极值的方法，同样得到最小值为3。

不过我想探索其他思路，于是做了如下尝试：
设$L = \frac{a+b+c}{b-a}$，我想证明$L \geq k$（$k$为某个常数）。
注意到$f(1) = a + b + c$，$f(0) = c$，而且$f(0) - f(-1) = c - (a - b + c) = b - a$，所以可以把$L$转化为：
$$\frac{f(1)}{f(0)-f(-1)} \geq k$$
进一步变形得到：
$$\frac{f(0)-f(-1)}{f(1)} \leq \frac{1}{k}$$

但到这里我就不知道该怎么继续推导了，想请教大家有没有办法顺着这个思路走下去，或者有没有其他类似的思路可以解决这个问题？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Shivansh Jaiswal