关于带紧支集n-形式积分中定向保持坐标卡定义的疑问

各位好，我在学习定向流形上紧支集n-形式的积分定义时，对其中“正定向图册”里的“定向保持坐标卡”定义有点拿不准，想跟大家确认一下我的理解是否正确：

背景设定 #

设$M^n$是一个定向流形，$\mathcal{A} := {(U_i,\varphi_i):i \in I}$是一个正定向图册（即$\varphi_i:U_i \to \varphi_i(U_i)$保持定向）。另外，${\chi_i}_{i \in I}$是从属于$\mathcal{A}$的单位分解。

对于带紧支集的n-形式$\omega \in \Omega^n(M)$，我们定义积分：
$$\int_{M} \omega = \sum_{i \in I} \int_{\varphi_i(U_i)} (\varphi_i^{-1}){*}(\chi_i \omega).$$

我的疑问 #

这里说的$\varphi_i:U_i \to \varphi_i(U_i)$“保持定向”，具体到底是什么意思？

我的现有理解 #

我对“定向保持微分同胚”的一般认知是：如果有两个光滑定向流形$(M,\omega_M)$和$(N,\omega_N)$（其中$\omega_M \in \Omega^n(M)$满足对所有$p \in M$，$\omega_M(p) \neq 0$，$\omega_N$同理），一个微分同胚$\varphi \in C^{\infty}(M,N)$被称为定向保持的，当且仅当存在一个正的光滑函数$f \in C^{{\infty}(M)$，使得$\varphi}{*} \omega_N = f \cdot \omega_M$。

回到当前的场景：$\varphi_i:U_i \subset M \to \varphi_i(U_i) \subset \mathbb{R}^{n$（假设$M$是无边流形），$\varphi_i$是同胚，所以$\varphi_i(U_i)$是$\mathbb{R}}n$中的开集。我们知道$\mathbb{R}^{n$中的开集有一个**标准定向**，也就是由n-形式$dx}1 \wedge \cdots \wedge dx^n$给出的定向（这是坐标下的标准非零n-形式）。

那是不是说，这里的$\varphi_i$保持定向，其实就是指：对每个$i \in I$，存在一个正的光滑函数$f \in C^{\infty}(M)$，使得
$$(\varphi_i)^{*} (dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^n) = f \cdot \omega_M?$$

补充说明：这里我把$\mathbb{R}^{n$看作带有光滑恒等结构的光滑流形，也就是$(\mathbb{R}}n,[\operatorname{id}])$，另外$(\varphi_i)^{*}$就是指拉回映射。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ben123