为何伯努利似然采用幂次乘积形式而非线性组合乘积形式？

这问题问得特别好——你说得没错，这两种表达式在数学上确实完全等价，但幂次乘积的形式之所以成为统计领域的标准写法，既有实用层面的计算便利，也有统计建模的本质逻辑支撑，咱们拆开来说：

一、首先是计算效率的刚需：极大似然推导的“最优路径” #

你贴出的推导过程就是最直接的证明：把似然写成幂次乘积形式后，取对数能瞬间把乘法运算转化为加法运算，后续求导、解方程的步骤都变得异常简洁顺畅。咱们对比一下两种形式的推导难度：

• 用幂次乘积形式的推导（就是你给出的过程）：
  $$
  \begin{align*}
  L(p) &= \prod_{i=1}^n p^{x_i}(1-p){(1-x_i)}\
  \ell(p) &= \log{p}\sum_{i=1}^n x_i + \log{(1-p)}\sum_{i=1}^n (1-x_i)\
  \dfrac{\partial\ell(p)}{\partial p} &= \dfrac{\sum_{i=1}^n x_i}{p} - \dfrac{\sum_{i=1}^n (1-x_i)}{1-p} \overset{\text{set}}{=}0\
  \sum_{i=1}^n x_i - p\sum_{i=1}^n x_i &= p\sum_{i=1}^n (1-x_i)\
  p& = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i
  \end{align*}
  $$
  几步就能得到清晰的MLE结果，完全没有冗余计算。
• 如果换成线性组合的形式，取对数后会变成：$\log\left(\prod_{i=1}^n [px_i +(1-p)(1-x_i)]\right) = \sum_{i=1}^n \log\left(px_i +(1-p)(1-x_i)\right)$，这个求和式里的每一项都需要单独展开求导，最终会出现复杂的分式嵌套，计算量陡增，而且解的形式也远不如现在直观。这种“对数友好”的写法，是统计学家们在长期实践中筛选出来的最优选择——毕竟没人喜欢给自己找计算麻烦对吧？

二、更核心的是：贴合伯努利分布的概率本质 #

幂次乘积的形式并非单纯的“技巧”，它完美呼应了伯努利分布的定义逻辑：
伯努利分布的单个样本概率是二选一的：当$x_i=1$时，概率为$p$；当$x_i=0$时，概率为$1-p$。而$p^{x_i}(1-p){1-x_i}$这个表达式，刚好能自然覆盖这两种情况：

• 当$x_i=1$时，$(1-x_i)=0$，$(1-p)^{0=1$，式子简化为$p}1=p$；
• 当$x_i=0$时，$x_i=0$，$p^{0=1$，式子简化为$(1-p)}1=1-p$。

这种写法一眼就能看清楚每个样本的概率贡献，直接体现了伯努利分布“二元取值对应不同概率”的核心结构。而线性组合的形式$px_i +(1-p)(1-x_i)$虽然数学上等价，但更像是“凑出来”的合并式，无法直观展现分布的本质逻辑，可读性差了不少。

总结 #

简单来说，伯努利似然的幂次乘积形式，既是计算上的最优选择，也是统计意义上最贴合分布本质的表达——这两个原因共同让它成为了标准写法，而非单纯的推导技巧。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Frostic