关于测度等式μ(A\B) = μ(A)-μ(B)成立条件的技术问询

我几乎在这个网站上搜遍了所有地方，却找不到这个问题的答案：什么时候两个集合的差的测度等于测度的差（也就是满足什么条件时，$\mu(A\backslash B) = \mu(A)-\mu(B)$成立？）

我并不指望得到所有可能情况的列表……不过，一些常见情况加上例子会非常有帮助。至于背景，这纯粹是出于好奇；不一定是为了某个特定的证明。我目前正在学习Gerald Folland的《实分析》教材。

嘿，好问题！这个等式在测度论里是个基础但实用性很强的结论，我结合Folland教材里的核心内容给你梳理几个最常见的成立场景：

• 当$B \subseteq A$且$\mu(B) < \infty$时
  这是最直接的情况。因为$A$可以拆成$B$和$A\backslash B$两个不相交集合的并，根据测度的有限可加性，$\mu(A) = \mu(B) + \mu(A\backslash B)$。只要$\mu(B)$不是无穷大，我们就能把$\mu(B)$移到等式另一侧，得到目标等式。
  举个勒贝格测度的例子：取$A=[0,2]$，$B=[0,1]$，显然$B\subseteq A$且$\mu(B)=1<\infty$，那么$\mu(A\backslash B)=\mu((1,2])=1$，而$\mu(A)-\mu(B)=2-1=1$，等式完全成立。但如果$B$测度无穷，比如$A=\mathbb{R}$，$B=[0,\infty)$，此时$\mu(A)-\mu(B)=\infty-\infty$是无定义的，等式自然不成立。

• 当$A \cap B$的测度有限（$\mu(A \cap B) < \infty$）且$B$可测时
  这是更一般的情况，不管$B$是不是$A$的子集都适用。因为$A\backslash B = A \cap B^c$，而$A$可以拆成$(A \cap B)$和$(A \cap B^c)$这两个不相交集合的并，根据测度可加性有$\mu(A) = \mu(A \cap B) + \mu(A\backslash B)$。只要$\mu(A \cap B)$有限，移项就能得到$\mu(A\backslash B) = \mu(A) - \mu(A \cap B)$——如果刚好$B \subseteq A$，那$A \cap B = B$，就回到了第一个场景。
  例子：取$A=[0,3]$，$B=[2,4]$（勒贝格测度），$A\cap B=[2,3]$，$\mu(A\cap B)=1<\infty$，$\mu(A\backslash B)=\mu([0,2))=2$，$\mu(A)-\mu(A\cap B)=3-1=2$，等式成立。

• 在有限测度空间中（即全空间$X$满足$\mu(X) < \infty$），只要$A、B$都是可测集
  这种空间里所有可测集的测度都是有限的，所以不管$A$和$B$的包含关系如何，$\mu(A \cap B)$必然有限，上面的推导都能成立。比如全空间取$[0,1]$（勒贝格测度），$A=(0,0.6)$，$B=(0.4,1)$，$\mu(A\backslash B)=\mu((0,0.4])=0.4$，$\mu(A)-\mu(A\cap B)=0.6-0.2=0.4$，等式成立。

另外补充一点：如果是有限可加测度（而非仅可数可加），上面的条件依然适用，因为核心只用到了测度的有限可加性，这在Folland教材的基础章节里就会讲到。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者J.G.131