关于△FBC为等腰直角三角形的证明思路求助

问题背景 #

设△ABC中，∠ABC、∠ACB的度数均小于45°。取点D、E满足以下条件：

• AB⊥BD，且AB=BD
• AC⊥CE，且AC=CE
• D、E位于直线BC不含点A的半平面内
  若F为线段DE的中点，求证△FBC是等腰直角三角形。

我的思考与卡住的地方 #

• 首先我第一反应就是∠BAC肯定大于90°，毕竟三角形内角和是180°，另外两个角都小于45°，加起来不到90°，剩下的∠BAC自然就大于90°了。
• 我还发现四边形ABQC（这里可能我标注点的时候有点小问题？）可以内接于一个圆，因为∠ABQ + ∠ACQ = 180°，这个圆的圆心应该是AQ的中点。
• 后来我又想能不能构造一个以BF、FC为邻边的矩形，再证明这个矩形其实是正方形，但到这一步就卡壳了，完全不知道接下来该怎么推进。

有没有大佬能给我点提示或者思路呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者IONELA BUCIU