事件研究设计：OLS在结果变量无方差时仍给出估计的疑问

问题描述 #

在事件研究设计中，处理前（event_time ≤ 0）的结果变量定义上恒为0。预期OLS在因变量无方差的子样本中无法返回估计值，但实际lm和带固定效应的feols均输出了估计结果；仅带固定效应的Poisson回归（feglm）呈现“无法估计处理前系数”的预期行为。以下是可复现代码：

library(fixest)
library(dplyr)

set.seed(123)

n_units <- 500
n_periods <- 10 
n_rows <- n_units * n_periods

panel <- expand.grid(unit_id = as.character(1:n_units),
                     event_time = -4:5) %>%
  arrange(unit_id, event_time) %>%
  mutate(treated = ifelse(runif(n_rows) > 0.5, 1, 0),  
         outcome = ifelse(event_time <= 0, 0, rpois(n_rows, lambda = 1)),  
         time = sample(1:1000, n_rows, replace = TRUE),
         cluster_id = sample(1:100, n_rows, replace = TRUE))

# 验证处理前结果变量恒为0
panel %>% group_by(event_time <= 0) %>% distinct(outcome)

model_1 <- lm(outcome ~ i(event_time, treated, ref = 0),
              data = panel)

model_2 <- feols(outcome ~ i(event_time, treated, ref = 0) |
                   unit_id + event_time + time,
                 data = panel)

model_3 <- feglm(outcome ~ i(event_time, treated, ref = 0) |
                   unit_id + event_time + time,
                  family = "poisson",
                 data = panel)

summary(model_1)
etable(model_2, model_3)

核心原因解析 #

1. OLS（含feols）的估计逻辑：不依赖子样本因变量方差 #

OLS的核心是全局最小化残差平方和，只要模型的设计矩阵（自变量组合）满足列满秩（无完全共线性），就能计算出系数估计值。哪怕某个子样本的因变量无方差，只要自变量在该子样本中存在变异，OLS依然会基于全局数据拟合出最优线——处理前的0值只是作为固定观测点参与拟合，不会阻断模型估计。

你之前的认知偏差在于：误以为子样本因变量无方差会导致OLS无法运行，但OLS的收敛条件是设计矩阵列满秩，而非因变量在所有子样本都有方差。

2. feols的行为本质：带固定效应的OLS #

fixest::feols本质是demean后的OLS（固定效应通过组内demean消除），只要demean后的设计矩阵依然列满秩，就能得到估计结果。model_2中加入的unit_id、event_time、time固定效应并未导致设计矩阵完全共线，因此模型仍能输出系数。

3. Poisson回归的差异：似然函数的约束逻辑 #

Poisson回归属于广义线性模型（GLM），依赖最大化对数似然函数估计系数。对于处理前outcome=0的观测，其对数似然项为-exp(Xβ)：为了最大化似然，处理前的相对时间虚拟变量对应的系数会被推向负无穷，优化器会识别出这些系数无法被有效估计，最终返回NA或不显示，这就是你看到的“预期行为”。

补充说明 #

• 查看model_1的结果会发现，处理前的系数是基于处理后的数据反向推导的，统计意义极弱，因为处理前的因变量没有变异，无法支撑因果推断。
• 若要在OLS框架下实现类似Poisson的“处理前系数无法估计”的结果，可以手动移除处理前的观测，或在模型中加入event_time ≤ 0的交互项来约束系数，但这需要根据研究设计调整。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Simon