分数阶微分方程${\frac{\mathrm{d}^\alpha f}{\mathrm{d}x^\alpha} = xe^x}$的解存在性及求解方法问询

嗨，你提的这个问题很有意思——这个分数阶微分方程（$0 < \alpha < 1$）是存在解的，不管用Caputo还是其他常见的分数阶导数定义都能找到解，只是解法和形式和整数阶的情况差异不小，咱们一步步拆解来看：

一、Caputo定义下的求解思路 #

你用的Caputo导数，它的逆运算就是Caputo分数阶积分。对于方程${^C D_x^\alpha}f(x) = g(x)$（用${^C D_x^\alpha}$表示Caputo导数），通解的形式是：
$$f(x) = {^C I_x^\alpha}g(x) + c_0$$
因为$0<\alpha<1$，所以只需要加一个任意常数$c_0$（齐次解部分）。

接下来计算核心的积分项${^C I_x^\alpha}xex$：

• 当$0<\alpha<1$且函数在原点处有限时，Caputo积分和Riemann-Liouville积分等价，所以可以用后者的公式：
  $${^R I_x^\alpha}g(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_0^x (x-t)^{\alpha-1} g(t) dt$$
• 代入$g(t)=te^t$，做变量替换$u=x-t$后拆分积分，最终会得到和你提到的下不完全Gamma函数相关的表达式：
  $$\frac{e^x}{\Gamma(\alpha)} \left[ x\gamma(\alpha, x) - \gamma(\alpha+1, x) \right]$$
• 利用Gamma函数的递推关系$\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)$和$\gamma(\alpha+1, x)=\alpha\gamma(\alpha, x)-x^\alpha e^{-x}$化简后，积分项可以写成：
  $$e^x \frac{(x-\alpha)\gamma(\alpha, x)}{\Gamma(\alpha)} + \frac{x^\alpha}{\Gamma(\alpha)}$$

所以Caputo定义下的通解就是：
$$f(x) = e^x \frac{(x-\alpha)\gamma(\alpha, x)}{\Gamma(\alpha)} + \frac{x^\alpha}{\Gamma(\alpha)} + c_0$$

二、为什么你的整数阶类比猜测行不通 #

你之前猜$f \propto (x-\alpha)e^{x$，这个思路很直观，但整数阶里$e}x$的导数始终是$e^{x$，可分数阶导数里${}C D_x^\alpha}ex$确实不等于$e^x$，而是和不完全Gamma函数绑定的——这是分数阶微积分里指数函数的特殊性质，所以直接套整数阶的简洁形式就行不通，必须通过积分逆运算来构造解。

三、其他分数阶导数定义下的解 #

以Riemann-Liouville导数为例，它的齐次方程解和Caputo不一样（是$C x^{\alpha-1}$），但非齐次部分的积分结果和Caputo定义下的一致，所以通解是：
$$f(x) = e^x \frac{(x-\alpha)\gamma(\alpha, x)}{\Gamma(\alpha)} + \frac{x^\alpha}{\Gamma(\alpha)} + C x^{\alpha-1}$$

四、关于解的存在性 #

完全不用担心无解的问题：只要右边的$xe^x$在$[0,+\infty)$上连续，分数阶积分算子就对它有定义，而且是有界的，所以解一定存在，只是因为分数阶微积分的特殊性，解的形式会包含不完全Gamma函数这类特殊函数，不像整数阶那样简洁。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者655321