特征值位于盖尔圆并集的边界上

好问题！咱们先从你给出的例子展开，聊聊这类矩阵的更多实例，再总结它们的共性特征。

常见实例 #

• 反对称实矩阵（或斜埃尔米特矩阵）：你提到的$\begin{bmatrix}0&2\-2&0\end{bmatrix}$就是典型代表，它的特征值是$\pm2i$，正好落在以原点为圆心、半径2的盖尔圆边界上。再比如4阶反对称矩阵$\begin{bmatrix}0&1&0&0\-1&0&0&0\0&0&0&1\0&0&-1&0\end{bmatrix}$，特征值为$\pm i$，每个盖尔圆都是圆心在原点、半径1的圆盘，特征值到圆心的距离恰好等于半径，完美落在边界上。
• 酉矩阵（含实正交矩阵）：比如平面旋转矩阵$\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}$，特征值是$e^{{i\theta}$和$e}{-i\theta}$。它的第一行盖尔圆中心是$\cos\theta$，半径是$\sin\theta$，计算$|e^{i\theta}-\cos\theta|=|\sin\theta \cdot i|=\sin\theta$，正好等于半径，所以特征值在边界上。再比如3阶置换酉矩阵$\begin{bmatrix}0&1&0\0&0&1\1&0&0\end{bmatrix}$，特征值是三次单位根$1,\omega,\omega^2$，每个盖尔圆都是圆心在原点、半径1的圆盘，特征值到圆心的距离都是1，也在边界上。
• 不可约的行等对角占优矩阵：比如$\begin{bmatrix}1&1\1&1\end{bmatrix}$，它的每行对角元绝对值等于该行其他元素绝对值之和（$|1|=1$），且矩阵不可约。它的特征值是2和0，$|2-1|=1$等于第一行盖尔圆的半径，$|0-1|=1$也等于第一行盖尔圆的半径，所以两个特征值都在边界上。
• 对角矩阵（平凡情况）：比如$\begin{bmatrix}3&0\0&-2\end{bmatrix}$，每个盖尔圆退化为单点（半径为0），特征值就是对角元本身，自然属于圆盘的边界。

共性特征 #

满足以下任意一种条件的矩阵，其所有特征值都会落在盖尔圆并集的边界上：

1. 对角矩阵：最直接的情况，盖尔圆退化为单点，特征值就是对角元，必然在边界。
2. 正规矩阵且特征值满足边界距离条件：像酉矩阵、反对称实矩阵这类正规矩阵（满足$A^*A=AA*$），它们的特征值具备特定的模长性质，同时能满足$|\lambda - a_{ii}|=\sum_{j≠i}|a_{ij}|$（特征值到对应行盖尔圆中心的距离等于半径）。
3. 不可约且行等对角占优：矩阵不可约，且对每一行i，都有$|a_{ii}|=\sum_{j≠i}|a_{ij}|$，这类矩阵的特征值全部位于盖尔圆的边界上。
4. 酉矩阵的非零倍数：比如$kU$（U是酉矩阵，k为非零复数），它的特征值是$k\lambda$（$\lambda$是U的特征值，模长为1），特征值到对应行盖尔圆中心的距离恰好等于盖尔圆半径，因此落在边界上。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Laurence PW