求方程$a! = b! \times 5! \times 3!$的所有非负整数解

大家好，今天咱们来聚焦方程$a! = b! \times 5! \times 3!$，找出它的所有非负整数解。先给大家唠点相关背景：像$a! = b! \times c! \times d!$这类「一个阶乘等于其他几个阶乘乘积」的通用方程，之前已经被讨论过，这至今还是个未解决的开放问题，不过目前已知的非平凡解只有四个。

有意思的是，之前还有人问过一个非常具体的同类问题：$a! = 7! \times 5! \times 3!$，虽然这个问题本质上就是纯计算，但当时收到了各种不同思路的解答，而且它还和那几个稀有的非平凡解挂钩，所以也挺值得琢磨。

那咱们现在要解决的这个问题，算是介于上面两个问题之间的「中间题」：它比通用方程具体得多，肯定能找到解法——比如可以把解决$a!=7!5!3!$的方法推广过来用；但它又比那个纯计算的具体问题更有探讨价值，因为它不仅包含非平凡解，还有不少平凡解。我自己会尝试写一个解答，但之前的问题说明这类题的解法路子很广，所以特别好奇大家都是怎么来处理的。

我还在想，如果能找到解这类稍通用问题（比如$a!=b!5!3!$）的方法，说不定能从侧面搞明白为什么这类阶乘乘积方程的非平凡解这么少见。其实还有几个类似的「中间题」可以后续深挖：比如$a!=7!b!c!$、$a!=5!b!c!$或者$10!=b!c!d!$，这些问题难就难在要解三个变量，但每个都能对应到那四个非平凡解里的两个；还有$a!=7!b!c!d!$能对应到其中三个。不过这些可以留作后续问题，除非有人在这里给出的解法能轻松扩展到这些情况。除此之外，这类「阶乘等于若干阶乘乘积」的问题，要么太简单没什么讨论价值，要么太难超出常规范围，适合在数学社区探讨的其实没多少。

注：根据相关研究，如果贝克的显式abc猜想成立的话，那已知的这四个非平凡解就是全部了（参考Nair和Shorey在2016年《数论期刊》上的论文）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Silverfish