基本序数算术咨询：序列{ω²·n + ω | n∈ℕ}的上确界求解及证明方法探讨
嗨，很高兴能帮你理清这个序数算术问题！先直接给你结论：你认为该序列的上确界是$\omega^3$的答案完全正确。
(1) 答案正确性确认
你的对比思路其实非常直观且合理：原序列的每一项$\omega^2 \cdot n + \omega$都严格小于$\omega^2 \cdot (n+1)$，而序列${\omega^2 \cdot (n+1) | n \in \mathbb{N}}$的上确界显然是$\omega3$，所以原序列的上确界不会超过$\omega3$。
同时，我们也能证明原序列的上确界不可能小于$\omega^3$：假设存在某个序数$\gamma < \omega3$，根据序数的标准展开定理，$\gamma$可以写成$\omega2 \cdot k + \delta$的形式，其中$k$是自然数，$\delta < \omega^2$。当我们取$n = k+1$时，$\omega^2 \cdot n + \omega = \omega^2 \cdot (k+1) + \omega$，显然这个项大于$\omega^2 \cdot k + \delta = \gamma$，说明$\gamma$无法成为原序列的上界。因此原序列的上确界只能是$\omega^3$。
(2) 更优雅的证明方法
我们直接利用序数序列上确界的定义（即所有项的最小上界）来严谨推导：
第一步：证明$\omega^3$是原序列的上界
对于任意自然数$n$，有：
$$\omega^2 \cdot n + \omega < \omega^2 \cdot n + \omega^2 = \omega^2 \cdot (n+1) < \omega^2 \cdot \omega = \omega^3$$
这说明原序列的每一项都严格小于$\omega3$，因此$\omega3$是该序列的一个上界。第二步：证明$\omega^3$是最小的上界
假设存在序数$\gamma < \omega^3$，根据序数的标准形式，$\gamma = \omega^2 \cdot m + \delta$，其中$m \in \mathbb{N}$，$\delta < \omega^2$。取$n = m+1$，则：
$$\omega^2 \cdot n + \omega = \omega^2 \cdot (m+1) + \omega$$
由于$\omega^2 \cdot (m+1) = \omega^2 \cdot m + \omega2$，而$\omega2 + \omega > \delta$（因为$\delta < \omega2$），所以$\omega2 \cdot (m+1) + \omega > \omega^2 \cdot m + \delta = \gamma$。这说明$\gamma$无法成为原序列的上界，也就意味着没有比$\omega^3$更小的上界。
综上，$\omega^3$就是原序列的最小上界，即上确界。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kyle S
