约束条件a+b+c=3（a,b,c≥0）下P=a³b²+b³c²+c³a²+7(ab+bc+ca)最大值的证明求助

大家好，我现在遇到了这么一个不等式最值问题，想请各位帮忙看看怎么往下推进：

设 (a,b,c\ge 0) 且 (a+b+c=3)，求 (P=a^3b2+b^3c2+c^3a2+7(ab+bc+ca)) 的最大值，已知当 (a=b=c=1) 时，(P=24)，猜想这就是最大值。

我的思路是直接证明这个不等式：
$$a^3b2+b^3c2+c^3a2+7(ab+bc+ca)\le 24$$

首先我尝试推导了一个恒等式：
$$2(a^3b2+b^3c2+c^3a2)=\sum_{cyc}a^2b2(a+b)+\sum_{cyc}a^3(b2-c^{2)=\sum_{cyc}a}2b^{2(a+b)+(ab+bc+ca)(a-b)(b-c)(a-c)=3(ab+bc+ca)}2-(18+ab+bc+ca)abc+(ab+bc+ca)(a-b)(b-c)(a-c)$$

但到这一步就卡住了，尤其是那个带有 ((a-b)(b-c)(a-c)) 的交叉项，实在不知道该怎么处理它来完成后续的证明。

真心希望能在这里得到各位的有用建议，谢谢大家！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1071608