寻求非负实数多元不等式的简洁证明方法（优先AM-GM类方法）

大家好，我最近碰到了这么一个非负实数的不等式证明题，想请各位帮忙看看有没有简洁的证明思路，优先考虑像AM-GM这类经典不等式的用法~

题目是：若 $a,b,c\ge 0$，证明：
$$a+b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+\sqrt[3]{abc}\ge 7\sqrt[7]{\frac{abc(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)}{24}}$$

我自己先尝试用AM-GM不等式去推导，但没找到合适的拆分方式，没能成功；后来换成指数形式去处理，结果式子变得特别复杂，根本没法往下走。所以想问问大家有没有更巧妙的方法，比如利用AM-GM的变形、或者其他均值不等式的组合用法？

任何思路、评论或者完整证明都非常欢迎，谢谢大家！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1205829