常系数偏微分方程特征线法求解错误排查

咱们先来一步步拆解你解题过程里的问题，核心错误出在特征线函数的构造环节，先从一阶线性齐次PDE的特征线基本原理说起：

对于你的原方程 $$2\frac{\partial u}{\partial t} + 3\frac{\partial u}{\partial x} = 0$$，它属于标准形式 $a\frac{\partial u}{\partial t} + b\frac{\partial u}{\partial x} = 0$，其中 $a=2$，$b=3$。这类方程的特征线需要满足微分方程：
$$\frac{dx}{dt} = \frac{b}{a} = \frac{3}{2}$$

对这个微分方程积分，得到特征线的表达式：
$$x = \frac{3}{2}t + C$$
（其中 $C$ 是任意常数）

整理一下，我们可以得到特征不变量：$x - \frac{3}{2}t = C$，也就是说方程的解 $u(x,t)$ 应该是这个不变量的函数，即：
$$u(x,t) = f\left(x - \frac{3}{2}t\right)$$
（或者等价地写成 $f(2x - 3t)$，因为只是对自变量做了线性缩放，不影响函数的任意性）

接下来看你出错的地方：你错误地构造了特征线函数为 $f(3x - 2t)$，这相当于把特征线的系数搞反了——你用了 $bx - at$，但正确的特征不变量应该从 $\frac{dx}{b} = \frac{dt}{a}$ 推导而来，也就是 $a dx = b dt$，积分后得到 $2x - 3t = C$，而不是 $3x - 2t = C$。

现在用正确的特征线函数代入初始条件验证：
当 $t=0$ 时，$u(x,0) = \sin(x)$，代入得：
$$\sin(x) = f\left(x - \frac{3}{2}\times0\right) = f(x)$$
所以 $f(w) = \sin(w)$，那么最终的解就是：
$$u(x,t) = \sin\left(x - \frac{3}{2}t\right)$$

咱们再验证一下这个解是否满足原方程：
计算偏导数：
$$\frac{\partial u}{\partial t} = -\frac{3}{2}\cos\left(x - \frac{3}{2}t\right)$$
$$\frac{\partial u}{\partial x} = \cos\left(x - \frac{3}{2}t\right)$$
代入原方程左边：
$$2\frac{\partial u}{\partial t} + 3\frac{\partial u}{\partial x} = 2\times\left(-\frac{3}{2}\cos\left(x - \frac{3}{2}t\right)\right) + 3\times\cos\left(x - \frac{3}{2}t\right) = -3\cos(...) + 3\cos(...) = 0$$
完全符合原方程的要求。

而你之前得到的解满足 $3\frac{\partial u}{\partial t} + 2\frac{\partial u}{\partial x} = 0$，正是因为你构造的特征线对应的是这个方程的特征不变量，相当于不小心解错了目标方程～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1089845