可数无限集上偏序的全序延拓问题求解思路咨询

大家好，我现在想请教这个问题的思考方向，不是直接要最终解法哈。

我已经理解为什么有限集上的任意偏序都存在全序延拓了：

• 首先，元素个数为0、1、2的情况显然成立；
• 当集合大小是2时，加入第3个元素后，只需要新增对应的偏序对就行。因为已经知道大小为2的情况成立，我们可以先去掉这个偏序里的一个极小元，得到剩下2个元素的全序，再把这个极小元放在全序的最前面，就能得到整个3元素集合的全序；
• 以此类推，对于大小为n的集合，都可以通过去掉极小元、得到n-1个元素的全序、再把极小元放在最前面的方式构建全序，这就是归纳法的思路。

但现在我卡在可数无限集的情况上了：这种一步步加元素的归纳策略行不通，毕竟没法通过有限次操作“到达”无穷；而且无限集里甚至不一定存在极小元。这时候我该从哪里入手呢？是不是应该先弄明白这个问题：为什么可数无限集上的偏序不可能无法延拓成全序？

之前常听人说，如果证明遇到瓶颈，得先彻底搞懂这个定理为什么一定成立，而不是硬套方法。现在我就是卡在“为什么这个结论对可数无限集也成立”这一步，想问问大家有没有思考方向可以给我指个路。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者eero1111