单位圆周上点的二阶矩

嘿，我来帮你把这个问题捋明白～

首先，咱们可以先把单位圆上的复随机变量X换个更方便计算的表达形式：因为X是单位圆周上均匀分布的点，所以可以写成 $X = e^{i\theta}$，其中$\theta$是在$[0, 2\pi)$上均匀分布的实随机变量。当然你之前拆成$a+bi$的思路也完全没问题，咱们顺着你的步骤继续走也行。

你已经推到$E[X^2] = E[a^2 - b^2]$，这里可以再往前迈一步：注意到$a = \cos\theta$，$b = \sin\theta$，所以$a^2 - b^2 = \cos^2\theta - \sin^2\theta = \cos2\theta$；而X²的虚部$-2ab = -2\cos\theta\sin\theta = -\sin2\theta$，你之前判断虚部的期望会消失是对的，因为$E[-\sin2\theta]$的结果是0，咱们重点算实部的期望就行。

接下来计算$E[\cos2\theta]$：因为$\theta$均匀分布在$[0,2\pi)$，所以期望就是积分的平均值：
$$
E[\cos2\theta] = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \cos2\theta , d\theta
$$
$\cos2\theta$的原函数是$\frac{1}{2}\sin2\theta$，代入上下限$2\pi$和0后，$\sin4\pi = 0$，$\sin0 = 0$，所以积分结果为0，平均值自然也是0。

同理，虚部的$E[-\sin2\theta]$计算出来也是0，因为$\sin2\theta$在$[0,2\pi)$上的积分同样为0。所以最终$E[X^2] = 0 + 0i = 0$。

其实用指数形式计算会更直接：$X^2 = e^{{i2\theta}$，那$E[X}2] = E[e^{i2\theta}] = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}e{i2\theta}d\theta$，这个积分的结果也是0——复指数函数在一个完整周期上的积分本来就是0。

两种方法都能得到同一个结果，是不是就清晰多啦？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Bepop