为何等式的传递性在此处不适用？——关于《Linear Algebra Done Wrong》中证明的疑问

嗨，我来帮你理清这个困惑！

你提到的“如果表示1等于v，表示2等于v，那表示1等于表示2”看起来完全符合等式的传递性逻辑，但这里的关键误区在于：向量用基表示的唯一性并不是天然成立的公理，而是需要用线性代数的性质去证明的结论。

咱们拆解一下：当你说“表示1=v”和“表示2=v”时，本质上是在说“两组基向量的线性组合结果等于v”。但如果没有额外的约束（比如这组向量是线性无关的基），不同的线性组合完全可以得到同一个向量——比如在二维空间里，用共线的向量(1,0)和(2,0)来表示(3,0)，既可以写成3*(1,0)+0*(2,0)，也可以写成1*(1,0)+1*(2,0)，这两个表示都等于v，但它们的系数明显不同，也就是“表示本身不相等”。

这就说明，只有当我们的向量组是基（满足线性无关且张成整个空间）时，这种表示的唯一性才成立。而《Linear Algebra Done Wrong》里的那个证明，核心就是用基的线性无关性，把“两个线性组合结果相等”推导到“它们的系数完全相同”——这一步是依赖线性代数的核心性质，而不是单纯的逻辑传递性。

你可能会觉得“传递性就够了”，但其实你默认了“结果相等的两个线性组合就是同一个表示”，但这个默认本身就是需要证明的结论。传递性只能告诉你两个线性组合的结果相等，但没法直接告诉你它们的系数必须一致——而后者才是“表示唯一性”的核心定义呀！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Joa