求半精度浮点数2^x与log2(x)的FP输入输出近似实现方案

基于原定点/跨类型近似公式，改造为输入输出均为半精度FP（binary16）的版本，全部采用位操作、移位和简单算术运算：

1. log2(x)：输入半精度FP，输出半精度FP #

核心逻辑 #

半精度FP格式：x = (-1)^S * 2^(E-15) * (1.M)，其中S是符号位（1位），E是指数位（5位），M是尾数位（10位）。
原近似公式为log2(X) = (E-15) + (M>>10) + 2^-5，由于M>>10结果恒为0（10位尾数位右移10位无有效位），因此近似值为(E-15) + 0.03125，将该值打包为半精度FP即可。

具体实现步骤（位运算+算术） #

• 提取输入x的符号位、指数位：

  S_in = (x >> 15) & 0x1    // 获取符号位
  E_in = (x >> 10) & 0x1F   // 获取5位指数位
  

• 计算log2近似值的整数部分k = E_in - 15，小数部分固定为0.03125（即2^-5）
• 将近似值打包为半精度FP：
  • 符号位S_out = S_in（仅对正输入有效，负输入可返回NaN或按需处理）
  • 指数位E_out = k + 15（还原指数偏移量）
  • 尾数位M_out = 0x20（0.03125 × 2^10 = 32，对应二进制100000）
  • 最终结果：result = (S_out << 15) | (E_out << 10) | M_out

2. 2^x：输入半精度FP，输出半精度FP #

核心逻辑 #

原近似公式为2^X = (X+15) << 10（X为整数），改造时先将输入FP近似为整数X，再复用原公式逻辑生成输出FP。

具体实现步骤（位运算+算术） #

• 提取输入x的指数位、尾数位：

  E_in = (x >> 10) & 0x1F   // 获取5位指数位
  M_in = x & 0x3FF          // 获取10位尾数位
  

• 将输入FP近似为整数X：取指数对应的值加上尾数最高位（实现四舍五入近似）

  k = E_in - 15             // 输入x的指数部分对应的整数
  round_bit = (M_in >> 9) & 0x1  // 尾数最高位，用于四舍五入
  X = k + round_bit
  

• 复用原公式生成输出FP：
  • 符号位S_out = 0（2^x恒为正）
  • 指数位E_out = X + 15（还原指数偏移量）
  • 尾数位M_out = 0（对应2^X的尾数为1.0，存储时尾数位全0）
  • 最终结果：result = (S_out << 15) | (E_out << 10) | M_out

可选优化（保留小数贡献） #

若需提升精度，可基于泰勒近似2^f ≈ 1+f（f为输入x的小数部分，即f = M_in / 2^10），此时输出FP的尾数位直接复用输入的尾数位M_in，指数位为E_in，即result = (0 <<15) | (E_in <<10) | M_in，该实现更简单且精度更高。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者auzifriend