关于诱导表示的基的疑问：为何两种基表述看似矛盾？

嗨，我来帮你理清这个困惑——你的问题出在对张量积平衡条件的误解上，咱们一步步拆解：

首先，明确诱导模的张量积结构：$\text{ind}H^G U = U \otimes{kH} kG$ 这里的张量积是**右$kH$-模$U$和左$kH$-模$kG$**在环$kH$上的张量积，平衡条件是对任意$u \in U$，$h \in kH$，$g \in kG$，都满足：
$$u \cdot h \otimes g = u \otimes h \cdot g$$

你构造的$B_1$错误的核心原因是：你误以为要排除$kH \setminus {1}$的基元素，但实际上平衡条件不是“禁止”这些元素出现，而是让它们和$U$的$H$-作用绑定，导致这些元素对应的张量项和其他项线性相关，完全不能作为基的一部分。

举个具体的小例子：取$h \in H$，那么对于任意$u \in U$，$u \otimes \mathbf{e}_h = u \cdot h \otimes \mathbf{e}_1$——也就是说，$\mathbf{e}_h$对应的张量项可以用$\mathbf{e}_1$对应的张量项通过$U$的$H$-作用表示出来，二者是线性相关的，自然不能同时作为基元素。

那为什么Cohn给出的$B_2$是正确的？

因为$T$是$H$在$G$中的横截集（左陪集代表元集合，满足$G = \bigcup_{t \in T} tH$且不同$t$对应的陪集互不相交），此时$kG$作为左$kH$-模可以分解为直和：
$$kG = \bigoplus_{t \in T} k(tH)$$
每个$k(tH)$作为左$kH$-模都和$kH$同构（映射$h \mapsto th$是左$kH$-模同构）。而张量积运算和直和是可交换的，因此：
$$U \otimes_{kH} kG = \bigoplus_{t \in T} U \otimes_{kH} k(tH)$$
又因为张量积的“单位”性质：右$kH$-模$U$和左$kH$-模$kH$的张量积$U \otimes_{kH} kH$与$U$本身同构，所以每个$U \otimes_{kH} k(tH)$都和$U$同构，维数为$\dim U$。

因此整个诱导模的维数是$\dim U \times |T| = \dim U \times |G|/|H|$，这和$B_2$的元素个数完全一致。而且这些元素是线性无关的：假设存在系数使得$\sum_{i,t} a_{i,t} \mathbf{u}_i \otimes \mathbf{e}t = 0$，根据直和的性质，每个直和项里的系数都必须为0，即对每个$t$，$\sum_i a{i,t} \mathbf{u}_i = 0$，而$\mathbf{u}i$是$U$的基，所以所有$a{i,t}=0$，因此$B_2$确实是诱导模的一组合法基。

总结一下：你构造的$B_1$错误地把线性相关的元素当成了独立基，而Cohn的$B_2$利用横截集把$kG$分解成了左$kH$-模的直和，从而得到了诱导模的一组标准基。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Lenov